Pour déterminer les autres conditions qui, jointes

à (19), sont nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un maximum ou d'un minimum, il nous faut transformer l'expression de 8^1 de manière à faciliter la discussion de son signe. Cette transformation repose sur deux propriétés de nos équations différentielles, que nous allons établir :

1° Les équations différentielles qui déterminent les quantités jKj P ont pour intégrale générale les équations

Prenons la différentielle totale des équations de droite en traitant x comme une constante; il viendra

^^yi^ -^ A — r~ "^^ = ^i^'-

Substituons cette valeur de d'^i dans l'expression de la différentielle totale de dyk

^--KÈ^^-t*)

elle deviendra

^^*=I,- £ ''="-+S,S. {Sy-n "''-^ M ''^

et, comme les équations (20) n'établissent entre les y et les a aucune relation indépendante des quantités p et [3, les coefficients de chaque différentielle devront être égaux dans les deux membres. On aura donc, en particulier, en égalant à zéro le coefficient de dy.i (après avoir permuté dans la somme double les indices de sommation h et t ),

Substituons la valeur de -~- tirée de cette formule dans

OH l'expression

elle deviendra

2 Y ^^V ày,' dy.

et ne changera pas si l'on permute k et A'; car cela revient évidemment à permuter les deux indices de sommation i et 11. Nous obtenons donc cette première relation

Zui\d'M dh doit dh)

384. 2° Les quantités y, p satisfont (375) aux équations canoniques

Prenons la dérivée de ces équations par rapport à l'une

quelconque c des constantes a, p. Il viendra, en désignant,