Toutes les solutions de nos équations s'expriment
CALCUL DES VARIATIONS. 5t3
linéairement en fonction des im solutions particulières
dyi
dpi
dpi
ày>
'àfr •
dp,
dpi
Proposons-nous de déterminer les valeurs des constantes particulières
Il faudra, pour cela, chercher la valeur de l'expression
àpi âyt dyt dp,
de de'
de de'
c et c' désignant deux quelconques des constantes a, [3. A cet effet, recourons encore aux équations intégrales
dj
dyt
=^Pi
En dérivant les premières par rapport à c, il viendra
d-y , y d^y dyk dpj
dyt de ^ Zjk dyt dyk de ~ de
On aura, par suite,
Zuidc de' Zuidc'dyide ' 2ui2ukdyidyk de de''
La somme double ne change pas si l'on permute c et c', car cela équivaut à permuter les indices de sommation i i. — Cours, III. 33
àfi ^'Y __ il àY __ â^y de "' de' de de de'
5l4 TROISIÈME PARTIE. — CnAPITRE IV.
et k. On aura donc
V f^Pj ^ll __ ^li ^Pi\ -rrV (^^J ^^ - -•^'' ^^^~ V
2ji\de de' de de' ) ' Zii\de' dyide de dytde' ) On a d'ailleurs
Sdj^ d^ ide' dfi
en désignant par j-, -c- la dérivée complète de ^ par rapport à c'j en tenant compte de ce que les/ sont des fonctions des constantes c. On a de même
S dfi d^y^ il ^ __ ^iX i de dfi de' " de de' de de'
et, par suite,
V' fdpi dy^dj^ dpi\ ^ ^Y __ ^ ^.
\de de' de de' J de' de de de'
Gela posé, V ne contenant pas explicitement les constantes p, on aura, si c — ^/c et c' = ^a,
dV dY
de de'
d'où
Si c := ajt et c' ■- -- a^, on aura, en vertu des équations (20), àY __dY
d'où
de de dv-h On a de même
et, par suite,
(SytS/,)=rO.
CALCUL DES VATIIATIONS. 5l5
Enfin, si c = ^k et c' :^ cf.h, on aura
dY dY
~dc " ""' de' '' d'où
d dY d dY d
de de' de' de " d^k ^^ "
l o si h> k, ( I si hz=zk.
Nous trouvons donc
(Si-S„) :-:0, (T,,T„)==0,
( I SI hs-zk. 387. Considérons maintenant deux solutions quelconques
On aura, d'après les formules précédentes,
— \ (B/,pA/,<y— A^pB^-cr).
Assignons aux coefficients Ay^p, B^p; A^^y, B^jy les valeurs particulières
où ? désigne une constante quelconque; il viendra
<-' <«.«.'=L[(fe).(Ê)r(S).(Sî).]=-
car le second membre de cette expression, se déduisant de celui de l'équation (21) quand on y change i, X*, k' en k, a-, p
5il3 TROISIÈME PARTIR. — CHAPITRE IV.
et qu'on attribue à ^ la valeur particulière i, est identiquement nu).
En posant successivement p = i, 2, drons un système de m solutions
Kj rz: ( . . . , îJjj, . . . , Ui\,
m, nous obtien-
tel que l'on ait généralement
(RpR^):^0.
388. Calculons, d'autre part, la valeur du déterminant G, formé avec les quantités
Pour l'obtenir, formons le produit du déterminant
! (dy,n\
par le déterminant
dcL,
àym
(àym\ (àyrn\
àyt àym
(dy^\
dy^
ày,n
ày.
an
àïm
àym
àyx
dym o
àyx âcti
àym
dyx d<x.m
dym
CALCUL DES YABIATIONS.
Il viendra, en tenant compte des équations (21) et (24),
d.Ym
àrm
'àyA
ày,n\
et, comme Di n'est pas nul, on en déduira
Nous admettrons provisoirement qu'on ait pu déterminer la constante ?, de telle sorte que l'on ait
dans tout l'intervalle de jTo à ^,.
Les quantités z^p^ . . -, Zmp] Uip, • - •, Ump, associées aux valeurs correspondantes lk^p, . . ., |i.^p des quantités [i., fourniront pour chacune des valeurs p = i, . . . , m un système de solutions des équations (12) à (i4)»
