Posons maintenant
(25) Z'ip =\ y/ciZkp,
(26) Uip=\ ^kiZjcpy
(27) f^/p~y ^klZkp-
Les quantités y/f/, 8^/, M/^;, déterminées par ces équations linéaires, seront des fonctions de x^ finies et continues entre Xq et x^ en vertu de nos hypothèses, puisque le déterminant G des quantités Zkp ne s'annule pas dans cet intervalle.
5l8 TROISIÈME PARTIE. -- CHAPITRE IV.
Eq difierenliant les équations (26'), on trouvera
"Ip — y ( Kci^kç, -î- ^ki^'kp )
ou, en remplaçant les z' par leurs valeurs déduites de (aS).
(28) u'ipz=z\ h'^.^\ S/,,- Y/-/, j ^^p.
Substituons, d'autre part, les valeurs des quantités iiip, Ui^ déduites des équations (26) dans les équations
elles deviendront
LAiLUk
OU, en permutant les deux indices de sommation dans le second terme,
ÂmÀiLjk
Le déterminant des quantités zi^ n'étant pas nul, ces équations entraînent les suivantes
y (5a;/— 5,7,)^^-prr:0 (p =
et le déterminant des z^^ n'étant pas nul, on en déduira
^ki = ^ik-
Les équations (12), (i3), (i4) sont d'ailleurs satisfaites par les valeurs
Faisons cette substitution, remplaçons les quantités ?', w,
CALCUL DES VARIATIONS. Ôig
[JL, u! par leurs valeurs (26) à (28) et changeons, lorsque cela est nécessaire, la dénomination des indices de sommation; il viendra
o = \ ( aa -H \ ^//i T/cA + \ ^^// M/,/ — 1',^ — \ §/„• yaa j -ytp-
Ces équations ayant lieu pour p :^^^^ i, . . . , m, et le déterminant des quantités Zj^^ n'étant pas nul, on aura pour
(29) oz^dki-V-S enriku,
(30) 0 — hki-'r-\ C/.ra-A-nN eti^ki— ^kh
(3i) o~a/A-+-\ ^/ATA:/i-+-/^ ^^//^1/t/— S;,.,.--\ Of.i^f,^.
On peut déduire de ces équations les valeurs des quantités a, 6, (i en fonction des c, e, y, 0, M. Elles donnent en effet
(32) <^/,;--— \ ehi^kji, puis
OU, en permutant t et A" et remarquant que ^hi'-^ ^ikf
(33) bik--.B/ci — \ Chkyi/i — \ek/Mif.
Les valeurs précédentes des 6, <i étant substituées dans
520 TROISIÈME l'ARTIE. — CHAPITRE IV,
l'ëqualion (3i), elle donnera
(34) / — ^^Ta-a(oa. — \ C/,v,Y,7i'— y e/,/M,
Substituons les valeurs ci-dessus des quantités a, 6, d dans l'expression de la variation seconde
^' ^ ~ / Aji ^A- ^ ^'^' ^^' ^-^'^ ~^~ ^ ^'^ ^•^' ^-^^ ~^~ ^''' ^^'' ^^''' ^ ^^
et dans les équations de condition
(35) 0:=^-^lr=\{dilùyi-\~ euoy'i) (/rrzl,
qui existent entre les variations.
Si nous posons, pour abréger,
r'i~^vuh>
(37) y.y 5,vjj,-sj^r-^p,
on trouvera aisément que les équations (35) deviennent (39) \eitVi—o
et que S'^I prend la forme suivante :
Le dernier terme de cette expression disparaît en vertu
des relations (39). D'autre part,
rfp . /v Y
<^-''""HZ,A/"^^"-^H,^'''
car les variations oyi, Sjka s'annulent aux limites. On aura donc plus simplement
390. Les conditions (35) ne sont pas les seules auxquelles soient assujetties les variations Sy/. Il faut, en outre : i°que ces variations soient infiniment petites, ainsi que leurs dérivées, entre Xq et ^< ; 2" qu'elles s'annulent à ces deux limites, sans s'annuler identiquement dans tout l'intervalle XoXi.
Il résulte de là que les quantités ç>i doivent être infiniment petites, mais qu'on ne peut les supposer identiquement nulles entre Xq et a:^. En effet, si tous les (^ étaient nuls, les équations (36) donneraient
(4o) ^/^• — \ ^{ài
^yh'-^
En vertu des relations (aa), ces équations seraient satisfaites en posant
p ayant l'une quelconque des valeurs i , . . . ^ m.
Par hypothèse, le déterminant des quantités Zip non seulement n'est pas identiquement nul, mais ne s'annule en aucun point de l'intervalle Xq x^ . Les équations linéaires (4o ) auront donc pour intégrale générale
— > Cp^/p,
les G étant des constantes arbitraires.
Les hyi devant d'ailleurs s'annuler pour x = Xq et le
TJNIVERSITY
déterminant des zt^ n'étant pas nul en ce point, les constantes Cp devront être toutes nulles^ mais alors les 8// seraient nuls identiquement.
