Cela posé, si la fonction

conserve constamment le même signe pour tous les systèmes de valeurs des fonctions Vt qui ne sont pas identiquement nulles et qui satisfont aux relations (39), l'intégrale

cp dx

jouira de la même propriété. Il en sera de même, à plus forte raison, si Ton se borne à assigner aux arbitraires Vi les systèmes de valeurs auxquels correspondent des valeurs admissibles des ^yi. Il y aura donc maximum ou minimum.

La fonction cd pourrait d'ailleurs s'annuler pour certaines valeurs particulières de x sans que ce résultat fût troublé.

Cette condition suffisante est en même temps nécessaire. En effet, s'il existait un système de fonctions çi satisfaisant aux équations (Sq) et tel que la fonction o fût positive dans une partie de l'intervalle ^z^o^i et négative dans l'autre, nous allons voir qu'on pourrait rendre 8^1 positif ou négatif à volonté dans cet intervalle.

Soient, en effet^ Xi , . . . , ^2n+i des fonctions quelconques de X, linéairement indépendantes^ et finies entre Xq et Xi ; c, . . ., C'2/i+i des paramètres infiniment petits. Posons Cl, . . ., C2u-i^i des constantes infiniment petites. Posons

le multiplicateur K étant égal à zéro dans la partie de l'intervalle où cp est négatif et égal à

dans la partie où il est positif. Les fonctions V/ satisferont

encore aux équations (^c)), et l'expression

nulle dans la première portion de Fintervalle, sera positive dans la seconde. L'intégrale

dx

sera donc positive.

Les valeurs correspondantes des S/^- sont les intégrales des équations linéaires

(40 ô// — y Ta/ o/a -— V,-.

Pour les obtenir, intégrons d'abord les équations sans second membre; il viendra, comme tout à l'heure,

ly, ==^ Cp.,p.

Prenant les Cp pour nouvelles variables, d'après la méthode de la variation des constantes, on obtiendra les équations transformées

^p ÔX "^

Les ^/p étant continus entre x^ et x^ et leur déterminant ne s'annulant pas, on pourra résoudre cette équation parrap-

dx

port aux dérivées -v-?. Le résultat obtenu sera de la forme

ÔX

:2^.E,pV,,

les E/p étant des fonctions finies.

Ces équations admettent la solution particulière

JL-t

qui est infiniment petite, les V, étant infiniment petits. Les valeurs correspondantes des Sy^ seront elles-mêmes infiniment petites. Il est clair d'ailleurs qu'elles seront linéaires et homogènes par rapport aux constantes c,, . - ., C2m+i, et l'on pourra déterminer les rapports de ces constantes de manière à faire en sorte que les oyi s'annulent pour Xq et jc,. Enfin les 8// ainsi déterminés ne s'annulent pas identiquement; car les équations (40' ^^ ^^^ V/ne sont pas identiquement nuls, ne pourraient être satisfaites.

Nous obtenons donc un système de variations 8/^ satisfaisant à toutes les conditions requises, et pour lequel 8^1 est positif. On déterminerait de même un second système de variations pour lequel 8^1 serait négatif.

392. Nous avons donc réduit la question proposée à chercher les conditions pour que la fonction

conserve constamment le même signe pour toutes les valeurs de p qui satisfont aux relations

Comme d'ailleurs le signe de cp ne dépend que des rapports des quantités ç, on peut, sans restreindre la généralité du problème, supposer les (^ assujettis à satisfaire en outre à la condition

Pour résoudre la question ainsi posée, cherchons les maxima et minima de cp pour les valeurs de ç qui satisfont aux équations (40 ^^ (44)- Dans ce but, nous égalerons à zéro les dérivées partielles de la fonction

Nous obtiendrons les équations suivantes

\ Cik C/t — P ^/ — \ et^

qui, jointes aux relations (/j^)? détermineront les rapports des quantités v et p^; quant à p, il sera déterminé par la condition que le déterminant

i ^ip

soit nul.

D'ailleurs les équations (45), respectivement multipliées par (^4, . . . , t'TO et ajoutées ensemble, donneront

ou, en vertu des équations (43) et (44)?

Les maxima et minima cherchés sont donc les racines de l'équation I -- o.

Pour que cp reste constamment non positif (ou constamment non négatif) entre Xq et Xt, et cela pour tout système de valeurs des ç, il est évidemment nécessaire et suffisant que ces racines restent toutes non positives (ou toutes non négatives) dans cet intervalle.

D'ailleurS;, si cette condition est remplie, on n'a pas à craindre que cp soit identiquement nul entre Xq et Xi ; car il faudrait pour cela que l'équation en p eût une racine nulle pour toute valeur de x entre Xq eix^, ce qui est impossible; carie terme constant de l'équation en p se confond, au signe

près, avec le déterminant J< qui, par hypothèse, n'est pas identiquement nul.

Nous obtenons ainsi les conditions suivantes pour l'existence d'un maximum (ou d'un minimum) :

Dans toute V étendue de V intervalle x^x^ le déterminant A(^0) •^) doit être ^o {sauf pour x^= Xq), et les racines de V équation I =^ o doivent être non positives {ou non négatives).

393. Nous avons toutefois admis, pour arriver à ce résultat, qu'on pouvait déterminer une constante ^, telle que l'on eût

(4(3) A(^, ^jjo de .■Tq à ^1.

Il nous reste à nous assurer que cette condition est implicitement contenue dans les précédentes.

La condition A(^o> •^) <opour ^ ^> ^o<'^4 donne, en particulier, pour X — - x^ ,

Les éléments du déterminant A et les coefficients de I étant par hypothèse des fonctions continues, on pourra déterminer des quantités So? ^\ assez petites pour qu'on ait encore

tant que ^oi \\ seront respectivement compris entre ^o et ^0 + ^0 et entre x^ et x<^ -]- z^. On aura donc

tant que x sera compris entre X(^~\- £o et X\ -^ £4.

D'autre part, les racines de l'équation I =:: o conservent un signe constant dans Tintervalle de .Tq à ^4 ; d'ailleurs, !< n'étant pas nul pour ^ = ^j, aucune d'elles ne sera nulle pour cette valeur de x\ et, comme elles varient infiniment peu entre x,^ et^, -|- z^ , elles conserveront encore leur signe dans ce nouvel intervalle.

De cette propriété et de l'équation (47), on déduit que 8^1 ne peut s'annuler dans l'intervalle de ^o-i-^o à .r^-f-e^. Donc, d'après le n'' 382,

A ( .27, ^1 -f- El ) J o pour ^r ^ .27o 4- £0 ■< ■^^i H- £j .

D'ailleurs cette expression est également ^ o si ^ est compris entre Xq et Xq-^ cq. On satisfera donc à la condition (46) en

prenant ^ = .^i -4- Gi .

394. Nous ferons remarquer, en terminant, que nous avons admis dans toute cette étude, non seulement que les variations 8// des fonctions inconnues sont infiniment petites, mais que leurs dérivées 87^ le sont également. Si l'on voulait supprimer cette dernière restriction, les conditions trouvées ci-dessus pour l'existence d'un maximum ou d'un minimum, tout en restant nécessaires, pourraient cesser d'être suffisantes.