III. — Variation des intégrales multiples

39o. Les notions fondamentales du calcul des variations peuvent s'étendre sans difficulté aux fonctions qui renferment plusieurs variables indépendantes.

Considérons, par exemple, une fonction

?(<^> /> ^; ", ^, . . . , «apy, t^a^y, • • • )

des variables indépendantes :r, r, ^, des fonctions u, v de ces variables et de leurs dérivées partielles

"apY ^ 3T^Trs";iZ^ ' ^^'Pï

Si l'on y change 11^ v en z/H-£Z/, = « + 8w, v -\-zv^z=zv-\-^v^ o se changera en une nouvelle fonction ^(^, jr, ^, e), qui, développée suivant les puissances de £, prendra la forme

cp -4- A'^ rz: çp 4- ocp -1- l- 0- cp -h . . . .

On aura évidemment

d'où, pour la valeur particulière £ = o,

dx^ ' dx^

■j—. représentant la dérivée complète de cp par rapport à x^ en

tenant compte de ce que w, v dépendent de cette variable. On trouvera de même

dy' ^ dy' dz' ^ dz'

La variation première 8cp, que nous considérerons spécialement dans ce qui va suivre, aura évidemment la valeur suivante :

cp --::: U Ùil -i- . . . -h Ua^y O'^apy

j -^- V 8(^ -H . . . -i- Vapy S^'a[3y

en posant, pour abréger,

du ' ' ' dur^^y

396. Cherchons maintenant les variations de l'intégrale triple