I -r V cp dx dydz
en admettant, pour plus de généralité, que, en même temps qu'on change u, v^ en u -+- Sw, v -h Si^, on fasse subir une altération infiniment petite au champ de l'intégration.
A chaque point ^, v;, Ç situé sur la limite de l'ancien champ d'intégration, on pourra faire correspondre un point infini-
CALCUL DÏÏS VARIATIONS. 5^9
ment voisin ^ + 8^, 7) -h 8tj, Ç + oÇ sur la limite du nouveau champ. Cela posé, changeons de variables indépendantes en posant
x^=:x'-^ùx', y=zy'-^By, ^r=^'-l-8^',
8^', oy\ 5s' étant des fonctions infiniment petites, assujetties à la condition de se réduire à 8^, St), oZ, lorsque x'= Ç, y' = 'ri, z'=^. L'intégrale altérée, exprimée au moyen de ces nouvelles variables, prendra la forme
l-^-M^r^Wjdx'dy'dz',
le champ d'intégration étant redevenu le même que dans Tintégrale primitive I, J désignant le jacobien
doy' ~d^ dlz'
dl:
dy' dW
d ùz'
dy'
dhœ' I ~d^ !
d^y (Uz
enfin W étant ce que devient ^ lorsqu'on l'exprime au moyen des nouvelles variables x' ^ y' ^ z' .
Le développement de cette expression, suivant les puissances de £, ne présente aucune difficulté ; nous l'arrêterons aux termes du premier ordre pour obtenir la variation première 5L Nous pourrons d'ailleurs, en le faisant, supprimer les accents dont sont affectées les nouvelles variables, aucune confusion n'étant à craindre, puisque les anciennes variables œ, y, z auront disparu.
On a évidemment, avec ce degré d'approximation,
dùx dx
dy
dh dz
D'autre part
* ^= cp H- Sep -h . . .
Cours, III.
53o TROISlfe:^IE PARTIE. — CHAPITRE IV.
devient, en remplaçant x, y, z par x H- 8^, y -\- 87, ^ -h 8j3,
rrrcp-f-
dx
do -
-p 8^ -h . , dz
. . -f- Ôcp ■
On
aura
donc
Wjrz:
cp + 8cp
<^co ^ do ^ dx dy '
' dx
: co + Ocp
Remplaçant o-^ par sa valeur (i), substituant dans l'équation (2) et égalant de part et d'autre les termes du premier ordre en e, il viendra
U 8^^ H- . . . -h Uaj3y ^«a^y + ^^
ùv
81 = Q ( d ^ d ^ d . \dxdydz.
^\ -^dx'^^''-'-d-y^'^--dz^'' J
397. Cette expression de ol, donnée par M. Ostrogradsky, peut être transformée par l'intégration par parties.
On peut admettre, pour plus de simplicité, que la fonction co soumise à l'intégration et les équations de condition qui peuvent exister, suivant la nature du problème, entre les variables indépendantes x, y^ ... et les fonctions inconnues u, ç^, . . . ne contiennent aucune dérivée partielle de ces dernières fonctions d'ordre supérieur au premier; car le cas où figureraient des dérivées partielles d'ordre îïi se ramènerait à celui-là en prenant pour inconnues auxiliaires les dérivées partielles jusqu'à l'ordre m — i et ajoutant aux équations de condition les équations aux dérivées partielles du premier ordre qui définissent ces nouvelles inconnues.
Supposons encore, pour abréger l'écriture, qu'il n'y ait plus que deux variables indépendantes x, y, et posons du du dv do ^^ do ^^
dx dy dx du dui
—^ = U27 .... On aura, d'après ce qui précède,
ôl = ^ I d ^ cl ^ \dx dy.
S/ U Sw + U, owi -+- U2 o«o H- V op + . ( d ^ d '
dy
Les termes U, 8m, , N ^ SV, , ... et -7- cp 5.r peuvent être intégrés par parties par rapport à x^ et donneront
Fo, F^
.-^Fo-f-F,~-F,
dx
cp Sjt ) dx
■fi
. désignant les valeurs de l'expression
F =: U, OW H- Vi 0(^ 4- < . . + cp S^
aux points où la parallèle aux x le long de laquelle on intègre entre dans le champ et en ressort [/ig- 12).
Fiff. 12.
On a d'ailleurs, en désignant par NqX, N, X les angles que la normale extérieure à la courbe qui limite le champ fait en ces divers poinls avec l'axe des x positifs, et par <i^oi ds{, ... les arcs interceptés sur la courbe entre la droite jk et la parallèle infiniment voisine y -f- dy^
dy
dso cosNoX -- dsi ces Ni X
L'équation (3), intégrée par rapport à y, donnera donc
si ( Ui ô«i 4- Vi S(^i -f- . . . -h -1- cp 0^ j da: dy
— / (Ui o^^ -f-Vi S(^ + . . .4- cp 8^) cosNX6/.ç
la première intégrale étant prise le long de la courbe limite, et la seconde dans tout le champ.
On peut opérer de même sur les termes
en les intégrant par rapport ky. On trouvera ainsi
ol " Ç{K (J^< 4- B o(^ -f- . . . 4- D 0^ -h E 0/) ^5
-t-Q(M ow 4- N 8p 4- . . .) J^ dy
en posant, pour abréger,
A = Ui CCS NX 4- Ua cosNY,
Brr=iYi<osNX4-V2CosNY,
D — cpcosNX, E =cpcosNY,
cix dy
dx dy
398. Cherchons à quelles conditions on doit satisfaire pour que cette quantité s'annule pour tout s^'stème de valeurs de Zx^ 8jK, Zu) 8(^, . . . compatible avec les données du problème.
i*' Si les limites du champ et les fonctions ?/, (^, . . . sont
entièrement arbitraires, on pourra assigner à ^x, Sjk, 5w, St», ... des valeurs absolument quelconques. Posant d'abord
6 étant une quantité qui s'annule aux limites du champ, l'intégrale simple aura tous ses éléments nuls, de sorte que 81 se réduira à l'intégrale
^%^ {M^-[-W -}-... )dxdf,
qui ne peut s'annuler que si l'on a séparément
Ces équations aux dérivées partielles détermineront les fonctions inconnues ii, c, ....
Les fonctions arbitraires introduites par cette intégration et les limites de l'intégration s'obtiendront en exprimant que l'intégrale simple à laquelle se réduit 81 s'annule également, quelles que soient les fonctions 8^, 8jk, 8m, ùv, .... En posant
on voit qu'on devra avoir séparément
•■2" Supposons que, sur la limite du champ (ou seulement sur une portion de cette limite), on ait une équation de condition
ll(^, J, U, ç, ...ji-O.
Cette relation devra subsister entre les nouvelles valeurs limites x -\- 8^, y + 8k, u + Aw, v + A(', D'ailleurs l'accroissement total Aw dû au changement de la fonction u en u H- 8m suivi du changement de ^, y en ^ -|- 8jc, y -f- 8jk est évidemment égal à 8m •+- u^ ^x -h U2 oy. De même
Ap ==: Iv -1- Vi ^x -r- (^2 ^y^ • ' "
On aura donc à la limite du champ entre les variations Sjc, oy, ^11, 8(^, ... la relation
dx ày du
-\- -^ (oç -f- ('i ùx -!-- (-'o Sy) -+- ... Il- o.
Les équations A= o, B r=^ o, . . . , E = o ne seront donc plus nécessaires le long de la portion de courbe considérée pour que l'intégrale simple s'annule, mais il suffira que Ton ait
du ai'
D r- X ( -^ -:- Wi -r-^ + (^1
(?tl; â^ d'l> \
ôx du av
\ étant une inconnue auxiliaire.
On a donc une inconnue de plus, mais en même temps une équation de plus, à savoir tj; n= o.
3° Supposons que x, y, u, ^^, ... soient liés par une équation aux dérivées partielles
