L-^-|-M-r-+N— nrA
oa^ oy dz
on aura (26)
La fonction cp = f^f^', . . . satisfera à une équation analogue ; on a, en effet,
A? = ^y¥+^i-f Vi + ---= («K 4- a^K, + ...)?.
Si les constantes a, a,, ... peuvent être déterminées de telle sorte qu'on ait
(II) .KH-a,K,+...= -(^-4-^^--t--^j
(i2) ^p-i-'^iPi
l'expression o sera un multiplicateur qui rend différentielle exacte le premier membre de l'équation différentielle.
En effet, il faut et il suffit pour cela qu'on ait les trois équations de condition
acp(M^ — N/) d^{^x — hz) df do)
Développant et remarquant qu'en vertu de l'équation (i 2) o est une fonction homogène de degré — m — 2, d'où
(?cp ^cp d-^ , .
dx '^ dy dz ^
ces trois équations se réduiront à l'équation unique
que nous supposons satisfaite.
Les deux membres de l'équation (11) étant des polynômes homogènes de degré m — i, leur identification donnera
— ^- équations de condition distinctes, linéaires en a,
a,, .... Le nombre total des conditions à remplir sera donc
m(m-^\) ^ . , pp ' ' 1 j ' . m ( m + 1 )
— -^ -f- I , et il sulhra, en gênerai, d avoir — ^ -f- i
intégrales particulières pour obtenir un multiplicateur et en déduire par quadrature l'intégrale générale.
29. Ce résultat serait en défaut si le déterminant des équations de condition était nul; mais, dans ce cas, on pourrait déterminer les quantités a, de telle sorte qu'on eût
( aK -h ajK. -h. . .-= o,
( a.p -+- ai/?i -h . . . =: o.
Or il est aisé de voir que, si ces conditions sont satisfaites, cp z=:z const. sera l'intégrale générale de l'équation proposée. En effet, o étant homogène et de degré zéro, on aura
do do do dx -^ dy dz
)'autre part.
T do ,- do -, do ox oy oz
ou
d^ d<^ d<f dx dr dz
Mz — Ny N^ — L^ Lj — M^
De ces relations combinées avec l'équation différentielle
on déduit
do j do do , j
oi=z --^ dx 4- -^ dy -\- ~~ dz z::^ do, dx dy -^ dz
d'où
cp = const.
Les équations (lo) équivalant a h i équations
linéaires et homogènes en a, a,, . . . pourront toujours être
satisfaites si le nombre de ces quantités est au moins égal à
J. — Cours, III 3
— ^^ h 2. Mais, dans la plupart des cas, les équations
de condition ne seront pas distinctes, ce qui réduira le nombre des solutions algébriques nécessaires pour l'application de la méthode.
En effet, pour que le polynôme aK 4- a, K, -h . . . soit
,j . ^ , ., r.p^ ,.1 , 1 m(m-hi) identiquement nul, il sutiit qii il s annule pour — ^^
points Xj j', z', x^^ yi, Zi] ...; car on obtiendra ainsi
— ^^ équations linéaires et homogènes entre ses coei-
fîcients. Ceux-ci seront donc nuls, à moins que le déterminant de ces équations ne soit nul (ce qui aurait lieu dans le cas où les points considérés seraient tels que toute courbe d'ordre m — i qui passe par quelques-uns d'entre eux passe nécessairement par les autres).
Gela posé, soit x^ y, z un point singulier qui n'appartienne à aucune des courbes/, /, .... On aura, pour ce point,
Kz=z\p, K, = X/?i, ..., d'où
L'équation de condition aR + a, R, -f- . . . = o, relative à ce point, fera donc double emploi avec l'équation
ap-\- (x^p^-\-. . .— o.
Si donc il existe q points singuliers qui n'appartiennent à aucune des courbes /, /<, ... (et qui ne soient pas tels que toute courbe d'ordre m — i, qui passe par quelques-uns d'entre eux, passe nécessairement par les autres), on pourra les prendre dans la série des points x, y^ z] x^, y\^ z^'^ . . ., Dour lesquels on doit exprimer que aR + a,R,-|- ... s'annule, et le nombre des équations de condition distinctes se
réduira à — ^^ \- \ — ^.11 suffira, pour y satisfaire, d'a-
voir — ^^ 4-2 — q intégrales particulières algébriques.
30. Supposons, par exemple, que l'on connaisse [jl intégrales algébriques /= o,/, = o, ... sans points multiples, ne se touchant mutuellement nulle part, et telles que la somme /> -f-/?i 4- . • . de leurs degrés soit égale à m-\-i. Nous pourrons construire l'intégrale générale. Il suffît en cfTet, pour cela, qu'on ait
Pour vérifier que cette équation est satisfaite, nous remarquerons que chacune des courbes (données, telle que/, passe par p[jn-\-i — p) points singuliers, qui sont précisément ses points d'intersection avec les autres courbes du système. Chacun de ces points se trouvant sur deux de ces courbes, leur nombre total r sera
Le nombre q des points singuliers qui ne sont sur aucune de ces courbes sera donc
Substituant dans l'équation de condition précédente, elle devient
Le cas le plus défavorable pour l'existence de l'inégalité cidessus est celui où tous les nombres p sont égaux à l'unité. En effet, si nous remplaçons un de ces nombres p par deux autres p' et p" , tels que l'on ait p' -\- p" z=iz p ^ ji. sera accru d'une unité, et^S/>^sera diminué de^(/?^ — p''^ — p''-)~j= p' p\ quantité au moins égale à i.
Or, si tous les p sont égaux à l'unité, on aura
et les deux membres de l'équation sont égaux.
