Considérons, comme application, l'équation de Jacobi
{ax + 6/4- cz) {ydz — z dy)
-^ {a' X ^ b' y -\- c' z) {z dx — œ dz)
-h {a" X + b"y ^ c" z) {x dy — y dx) — o.
Cette équation admet trois droites comme solutions particulières. En effet, la condition pour que la droite
f^=.ux^vy-\- wz =-- o
soit une solution sera, d'après la théorie précédente,
{aX'i- by -^ cz)u ^ {a! x-\- b' y -\- c' z)v + {a!' x -h b" y 4- C' z)sv zzz- k{ux -\- çy 4- wz),
/r étant une constante.
Cette équation donne les trois suivantes
!aa -\- a' i^ -i- a"iv =z. ku, bu-^b'^>-^b"w^-kv, C« 4- C' (^ 4- C" W :rr ki\',
d'où l'on déduit pour k l'équation du troisième degré
Soient A",, k^^ k^ ses trois racines. A chacune d'elles k^ correspond une droite /p, pour laquelle les rapports des coeilîcients ii, v^ iv seront déterminés en fonction de kp parles équations (i4)-
Cela posé, l'intégrale générale sera
a,, oL.j, oL-i étant déterminés par les relations
a, /ci 4- a, /tj 4- «3 /.g --~ o,
a, -\- aj
auxquelles on satisfera en posant
où la dérivée y' se trouve à un degré supérieur au premier, exigent, pour être traitées par les méthodes qui précèdent, la résolution préalable de l'équation par rapport à y' , ce qui peut présenter de graves difficultés. Mais on pourra, dans certains cas, se dispenser de cette opération par l'introduction de variables auxiliaires.
33. i" Considérons d'abord les équations qui ne contiennent que la dérivée y' et une seule des variables x^y.
Ces équations sont des deux formes suivantes
/(^•,/) = o ou /(j,/) = o,
suivant qu'elles contiennent la variable indépendante x ou la fonction inconnue y. Mais ces deux types d'équations se ramènent immédiatement l'un à l'autre en prenant la fonction pour variable indépendante, et réciproquement.
Nous nous bornerons donc à considérer les équations de la forme
Si l'on sait exprimer j" qI y au moyen d'une variable auxiliaire u par deux équations
y^o{Li), y'=.^{u),
dont le système soit équivalent à l'équation unique (i5), l'intégration sera ramenée aux quadratures. On aura, en effet,
dx--i^- t^ du
38 TnOISIÈME PARTIE. — CHAPITRE
d'où
du -1- const.
avec
Ce cas se présentera en particulier si l'équation (i5) représente une courbe de genre o ou i , lorsque Ton y considère j, y' comme les coordonnées d'un point. Les fonctions o el^ sont alors rationnelles ou elliptiques, de telle sorte que les intégrations pourront se faire.
Considérons, par exemple, l'équation
j" — /'+ 7' = exposons jr= uj'; substituant et supprimant le facteur jk'-^ il viendra
y—i — u-, y—u — u^, du
Çi — ^u^ J I — «'
= / ( 3 H ^- -—) du = 3u -h log~ ^- -+- c.
u — i u-i-ij "^ u -{- 1
34. 2° Il existe une classe assez étendue d'équations différentielles qu'on peut intégrer à l'aide d'une différentiation préalable.
Considérons, en effet, l'équation
On en déduira, par la différentiation,
df^^Jœ-^f^dy+pdy^o.
Prenons j^' pour variable auxiliaire; nous aurons la nouvelle
équation
dy — y' dx i=r o
qui, combinée à la précédente, donnera un système de deux équations simultanées pour dé terminer j^,jk'.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Sq
Supposons qu'on soit parvenu à déterminer des multiplicateurs M, N, tels que l'on ait
M df-\- N{df—y dœ) = ^cp,
do étant une différentielle exacte.
Les équations /= o, dy — y' dx = o seront, en général, équivalentes aux deux suivantes :
ou
fzzzzO, C5— e.
On n'aura plus qu'à éliminer y' entre ces deux dernières équations pour avoir la relation qui lie x^y et la constante arbitraire c.
Les deux systèmes d'équations cesseraient toutefois d'être équivalents pour les valeurs de x^ y-,y'^ qi»i rendraient N nul ou infini, ou M infini. De là peuvent naître des solutions singulières.
