Considérons, par exemple, l'équation

7 = ^/(7') + ?(/) linéaire en x et 7.

On en déduit, par différentiation,

(16) / dx =/{/) dx + [x/'{y') -H cp'(/)] dy'.

Cette équation étant linéaire en x et --j—,^ on peut en déterminer un multiplicateur, et son intégration donnera x en fonction de la variable auxiliaire jk'. Cette valeur, substituée dans l'équation primitive, donnera la valeur dey.

Un cas particulier digne de remarque est celui de l'équation de Clairaut,

L'équation auxiliaire (16) se réduit dans ce cas à

En égalant à zéro le facteur dy ^ on aura

et, en substituant cette valeur dans l'équation primitive,

y =rr ex -h o(c).

La solution générale représente donc un système de droites. On aura une solution singulière en posant

.r + cp'(7')=o.

Cette équation, associée à l'équation primitive, représente évidemment l'enveloppe des droites fournies par l'intégrale générale.

('") •^77'^+ (.^^— r^— Ah-B)j'~^7 = o

peut se ramener à l'équation de Glairaut, en posant

d'où

2 X dx =: du^ iy dy z=: dv]

X dx du '

successivement

Substituant dans la proposée et multipliant par — > il vient

iiv'^ -\- {u — {> — A -h B ) t^' — P ==: o, , B-A ,

L'intégrale générale sera

v^cu-\ c