Considérons enfin l'équation différentielle do! dy

où

L'intégration directe donne

F(^) 4-F(/) =:const.,

F désignant l'intégrale elliptique de première espèce.

Mais d'autre part, cette équation étant un cas particulier de l'équation d'Euler, admet une intégrale générale algébrique (t. II, n°^ 498-501). Voici un nouveau procédé pour l'obtenir, indiqué par M. Darboux.

Posons

dx dy

t étant une variable auxiliaire. On en déduira successivement

/ dnc \ 2

et, en dérivant par rapport à t^

puis

y~dF'~^'d¥ ik'xr

d^x d^y / dx dy

'^ dt- dt

,„ ( dx dv\

dx dy I — k^x^y-

-^ dt dt

et, en intégrant,

, / dx dy\ , , /, o «X

dx dy

rri: COnSt..

y —, — ^ , -^ dt dt

et enfin

= const.

On aura donc

Posons

yz^o;

cette équation se réduira à

On aura donc

Posons

œ r=:snu, y z::z snç, d'où Aœ ^= cnudnu, I^y ~ cnç dnç.

Nous retomberons sur la formule connue

sn w en p dn ç -^ snç en u dn a

sn (w H- (^) =

I — • /:^sn^ asn^t^