III. — Systèmes d'équations simultanées

41. Tout système d'équations difFérentielles simultanées, entre n + i variables œo, . . . , Xn, peut être ramené, comme on l'a vu, au type normal

CLJOq CtJOn

X , , , . . , X,j étant des fonctions de ^o? • • • ^ ^/z- Ces équations étant mises sous la forme

(r) ¥,,=.dœk — X},dxQ — o {k ■= i, . . . , n),

cherchons à en déduire une combinaison

dont le premier membre soit une différentielle exacte Jco. L'identité

Ljk ox^ dx„

donnera

Eliminant les [i., on aura, pour déterminer o, l'équation aux dérivées partielles

(.) fL^y x,^=o.

o-^o Ad/c àxk

42. L'intégration de l'équation (2) et celle du système (1) sont deux problèmes équivalents.

En effet, si, par un procédé quelconque, on est parvenu à obtenir une solution générale du système (i) (^ ), représentée par n équations

entre Xq^ . . . , ^/^ et ^ constantes arbitraires c,, . . . , c,,, on en déduira aisément toutes les solutions (ou intégrales) de l'équation (2). Résolvons, en effet, les équations (3) par rapport à c», . . . , c« ; elles prendront la forme

D'ailleurs, les premiers membres cp< , . . . , cp^^ de ces équations seront des fonctions distinctes de Xq, . . ., Xn^ c'est-à-dire qu'elles ne seront liées par aucune relation; car, si une semblable relation existait, les équations (4) ou les équations équivalentes (3) seraient incompatibles, sauf pour les systèmes de valeurs des c qui satisfont à cette même relation, et, pour ces systèmes de valeurs, elles cesseraient d'être distinctes.

Gela posé, les équations (4) donnent, par différentiation,

<icpi =0, . . . , d'o,i = o.

Ce système devant être équivalent au système (i), on aura des équations de la forme

doi^\ î4F^.

Donc cp,, . . ., (^n seront des intégrales de l'équation (2).

Soit maintenant y une autre fonction quelconque de Xq^ . . . , Xn^ qui soit distincte des précédentes. Si nous transformons l'équation (2), en prenant pour variables indépen-

(•) On verra dans la Section V qu'il existe toujours de semblables solutions.

dantesjK, cp,, . . . , cp,,, elle prendra la forme

Mo -T^ + Ml -T-^ + . . . H- M„ -r-i- = o.

Mais elle admet pour intégrales cp< , . . . , cp,, ; donc Mi = o, ..., M,i = o.

L'équation se réduira donc à -r^ = o. Donc, pour qu'une

fonction o=:F{y, ...,cp„) satisfasse à cette équation, il est nécessaire et suffisant qu'elle ne contienne pas y. La forme générale des intégrales cherchées sera donc

où F est une fonction arbitraire.

Réciproquement, supposons que nous ayons déterminé n intégrales distinctes cp,, . . . , Qp„ de l'équation (2); on aura

Ff, (t — 1,2,

(ji[ , . . . , ij.)J étant des fonctions de x^), . . . , x,i^ dont le déterminant n'est pas nul, car il ne doit exister aucune relation linéaire entre d'^\, . . ., d'^n' Le système (i) sera donc équivalent ( ' ) au système

dont on obtient immédiatement la solution générale

43. Nous appellerons, d'après Jacobi, multiplicateur le déterminant \k des coefficients

(') Sauf pour les systèmes de valeurs des variables qui rendraient infinis les coefficients [x ou qui annuleraient leur déterminant. Ces systèmes devront être considérés à part.

Si l'on remplaçait le système des intégrales co, , . . . , 'Z),i par lin autre système d'intégrales distinctes ^i(^i , . . . , cp„), . . . , y/i((p, , . . . , cp,;), on obtiendrait évidemment un nouveau multiplicateur [J.J, J désignant le jacobien de ']>,, , . . , ^,i par rapport à cp,, . . ., ^,,.

Ce jacobien est une fonction de cp,, ..., cp,^, qui peut d'ailleurs être arbitraire. En effet, F désignant une fonction arbitraire de cp4, . . ., cp/^, que nous supposerons contenir cp< par exemple, il suffira de poser

F^'fn '^^

pour avoir J == F.