Soit j^ l'un des nombres ce que devient le déterminant

Désignons par Dp

dXn

dx„

lorsqu'on y remplace les éléments y^ (

Ar.

les éléments -^ - Gomme on a

dxo

k OXi,

il viendra évidemment, en supprimant les termes qui se détruisent,

On en déduit

Dp zzzz — [-«-Xp.

Or le second membre de cette égalité est nul; car, en eiïectuant les calculs, on voit immédiatement que c'est une

fonction linéaire des dérivées secondes -r ~ — , •• • , et que

aooidxfc ^

lune quelconque de ces dérivées a pour coefficient la somme de deux déterminants qui ne diffèrent que par rechange de deux colonnes, et qui, par suite, se détruisent.

Le multiplicateur |Ji satisfait donc à l'équation aux dérivées partielles

Réciproquement, toute solution |ji' de cette équation est un multiplicateur. Posons, en effet, ^' = tjLV. L'équation deviendra, par la substitution de cette valeur de [a',

\ ôxq ^k àxj,

\àx^ Zjk àx Donc V est une intégrale, et l^-' = [Jt-v un multiplicateur.

dxo Zuk '' àxk)

45. Supposons que nous ayons réussi à déterminer seulement i intégrales distinctes cp^ ..., cp^ de l'équation (2), / étant << n. Soient jto, • • • ? Jn-i des fonctions de .2:0, . . . , x,,^ qui, jointes à celles là, forment un système de /i -f- i fonctions distinctes. Si nous prenons les cp et les y pour variables indépendantes, les équations F/f prendront la forme

F, --^^Mâ dy^ -i-^ N^ ch^ = o (a — o, ..., /i — /; p — 1,2, .. .,/),

En les résolvant par rapport à dy\^ - - ..i/cp,, . . ,, on ob- J. — Cours III. li

tiendra un nouveau système équivalent ■ ■ •

^ G,^,= a\^'F,-h...-^a^'F,, = dy, -Y,dy, =0,

G„ =a'lFi 4-... + <F/, =dy„i — Y,,idfQ=o,

Les i premières équations de ce nouveau système donnent immédiatement

cpi =i:z const., ..,, (p„ ^=; const.

Il ne restera donc plus qu'à intégrer le système d'ordre //. — / formé des équations

où O), ..., 0,1 doivent être considérés comme des constantes.

Les multiplicateurs tx' du système (6) s'obtiennent évidemment en divisant ceux du système (i) par le déterminant A des coefficients a.

D'ailleurs l'équation aux dérivées partielles qui les caractérise, se réduisant à

àfo àfi '" dfn-i ' '

montre qu'ils sont des multiplicateurs du système (7). Si donc on connaît un multiplicateur [a du système primitif, on

en déduira un multiplicateur - du système réduit (7).

Il résulte de là que, si l'on connaît n — i intégrales et un multiplicateur du système (i), la fin de l'intégration s'obtiendra par de simples quadratures ; car la question se ramène à intégrer une seule équation du premier ordre, dont on connaît un multiplicateur.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 5l

46. On a souvent à étudier des systèmes d'équations différentielles dont on peut déterminer facilement un multiplicateur. Le cas le plus simple et le plus important en même temps est celui des systèmes d'ordre un et de la forme suivante

(8) dxi—-^dt, dpi — —^dt {i — i,2,...,n),

où 'h désigne une fonction connue des 2n variables 0:4, . . . ,

^/i 1 P \^ • • • 5 Pn •

Ces systèmes sont connus sous le nom de systèmes canoniques. Ils se rencontrent dans les plus importantes questions de la Mécanique.

D'après la théorie précédente, leurs intégrales cp et leurs multiplicateurs p. seront déterminés par les équations aux dérivées partielles

dt ^1 \d3Ci dpi dpi dxi et

àpi J

il est clair qu'on satisfera à cette dernière équation en posant simplement [j. = i .

Parmi les intégrales, nous distinguerons de préférence celles qui sont indépendantes de t\ elles seront données par l'équation

dxi dpi dpi dJCi

laquelle admet 2/2 — i solutions distinctes^ en fonction desquelles toutes les autres peuvent s'exprimer.

Si l'on a déterminé 2n — 2 de ces solutions, cpi, . . ., ^2«-2) on pourra achever l'intégration par de simples quadratures.

En effet, soient jk^JKi deux fonctions quelconques des x^,

Xn, p\, . . . , /?/2, distinctes de cpi , . . . , ^2«-2- Prenons pour variables indépendantes les :p etlesjK à la place des x et des/?.

Sa TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

Il nous restera à intégrer un système de deux équations, de la forme

dt =Y^df,

et dont nous connaîtrons un multiplicateur. Ce multiplicateur ^' satisfera à l'équation

àf dy, "^ dt " ''•

Mais tous les éléments qui entrent dans le calcul de [jl', Y|, Y2 sont indépendants de t\ donc Téquation précédente se réduira à

dy âyi

et [Jl' sera un multiplicateur de l'équation

dyr-^Y^dy.

On pourra donc intégrer cette équation par quadrature, et obtenir ainsi r< en fonction de y. Substituant cette valeur dans la seconde équation, on aura t par une dernière quadrature.