L'expression
Zji \à^i dpi ôpi dxi)
qui forme le premier membre de l'équation (g), se représente ordinairement par (d, o). De la définition de ce symbole l'ésultent plusieurs propriétés importantes, parmi lesquelles nous signalerons les suivantes :
(10) (c, cp)t=o (c étant une constante),
('0 (4^)?) = o (si cp et «j; sont indépendants des/?),
(12) (cp, ^) —— (4;,cp),
(13) (cp, cp)rz:0.
Les formules (lo) à (i4) résultent immédiatement de la définition du symbole (t{;, (p). Pour vérifier la relation (i5), on remarquera que son premier membre développé est formé de termes dont chacun est le produit d'une dérivée du second ordre de Tune des fonctions cp,, cp2, <} par des dérivées du premier ordre de chacune des deux autres fonctions.
Considérons, par exemple, les termes qui contiennent les dérivées du second ordre de <]>; ils seront de l'une des formes
dxidpk àfi dxi, dxidpk dxf^ dpi
ôxièxk dpi dp// dpidpk dxt dx/,'
et proviendront exclusivement des deux derniers termes de l'équation (i5).
On vérifie, d'ailleurs, aisément que chaque terme de l'une des formes ci-dessus provenant du second terme de l'équation est détruit par un terme correspondant provenant du troisième.
48. De la proposition que nous venons d'établir découle celte conséquence importante, connue sous le nom de théorème de Poisson :
Soient cp,, cp2 deux intégrales quelconques de l'équation aux dérivées partielles
(4;, cp) = 0
(où 'i> est une fonction donnée); l'expression (^«,^2) sera une nouvelle intégrale.
En effet, des identités
(d;, cpi) — O, (J/, cp2)=0,
que l'on suppose satisfaites, on déduit immédiatement
((4^J?l),?2) = (0, 'f2)=zO,
et, par suite, • V '^ ' ; ;
Supposons donc que l'on connaisse un certain nombre d'intégrales distinctes cp^, . . . , cp^ de l'équation proposée, on en déduira de nouvelles intégrales (cpi, (^2), • • -, (^A n Ok). Si ces nouvelles intégrales sont des fonctions de cp,, ..., <p/f, cela n'apprendra rien de nouveau; mais, si quelqu'une d'entre elles ^y^-^i est distincte des précédentes, on pourra la leur adjoindre, puis refaire la même opération sur le système <p<, 02, . . ., ^/f+M et ainsi de suite, tant qu'on trouvera de nouvelles intégrales distinctes de celles déjà connues.
49. Revenons à la théorie générale des systèmes d'équations simultanées de la forme (1). Si, dans un semblable système
nous changeons Xq^ ...^Xn en ^o + ^io? ^/<+£^«?
ioi • . . , \n étant des fonctions de x^, . . . , Xn^ et £ étant un paramètre infiniment petit dont nous négligerons le carré, nous obtiendrons de nouvelles équations
(17) Gi=:=o, ..., G„:=o.
Si ces équations transformées sont des combinaisons linéaires des équations primitives, telles que
(18) G/=:«,,.F, 4- ... -ha,,/ F,, (/zr. I, ...,/i),
nous dirons que le système (16) admet la transformation infinitésimale ^o> • • • 7 5/2'
L'étude de ces transformations infinitésimales se lie intimement à celle des intégrales et des multiplicateurs du système proposé. Nous remettrons l'examen de cette question à Ja Section suivante, où elle se présentera sous une forme plus générale. Nous nous bornerons pour le moment à montrer
que l'ordre du système peut être abaissé, si l'on connaît une transformation infinitésimale ^o^ • • •) ^/n telle que l'équation aux dérivées partielles
puisse être intégrée.
Soient, en effet, ri , . . . , JK« les /i intégrales distinctes de cette équation. Lorsque ^05 .-., ^/i seront changés en ^o-j- e^o, ..., ^/i-+- ^^/n y\-> ' • ' , y II resteront invariables; car j^^- se trouve accru de la quantité
Soit, d'autre part, r\ ce que devient ^o lorsqu'on l'exprime en fonction de Xq, jKn • • • , JOn et posons
dûOQ
y M -''^yn étant traitées comme constantes dans l'intégration.
La transformation infinitésimale donnée, accroissant.ro d('
zr\ sans altérer j/^ , • • . , fn^ accroîtra yç, de ev] -^ — = s.
Si donc nous prenons pour variables indépendantes y^j yt, . . ., y/ij le système transformé ne variera pas quand on accroîtra y^ de s, sans changer les autres variables.
Gela posé, les équations de ce nouveau système, résolues par rapport aux différentielles dy^^ . . . , dy,i, donneront un résultat de la forme
rf/o- Y^ Y^
Pour que ce système se reproduise quand on accroît yo d'une constante e sans altérer les autres variables, il faut évidemment que ¥4, ... Y,i soient indépendants de yQ.
Il suffira dès lors, pour intégrer ce système : i" D'intégrer le système d'ordre n — i
dy^ dy,, Yi Y,/
ce qui donnera JK2, • • • , y'n en fonction de r, ; 2** De substituer ces valeurs dans l'équation
dy^
dyx Y7'
laquelle donnera jo par une simple quadrature.
50. Parmi les cas d'intégrabilité de l'équation (19), le plus simple est celui où les variables sont séparées, ^0 dépendant de Xq seulement, \^ de x^ seulement, etc. Le système
d'où dépend l'intégration de l'équation (19), s'intègre alors par de simples quadratures, et l'équation (19) admettra les intéijrales suivantes :
/dx^ r dxQ 17 ^j X
/dx„ r dx„ in J io '
1° Supposons, par exemple, que Ho, ... , kn soient des constantes. Il faudra, pour réduire le système, prendre pour nouvelles variables les quantités
X^ Xq X^ Xq
et
2° Surposons, en second lieu, $0=—' *••» L = -'
<2o, . . • , a,i étant des constantes. Les équations (20) deviendront
On en déduit
aolog^o — a/ log^/= const. (/= i, . . ., /i) ou, ce qui revient au même,
— ^ =: const.
Il faudra donc prendre pour nouvelles variables
C dxQ ,
Jo— / «0 =aolog^o.
