Lorsqu'on a une équation unique d^y ^( dy d

dx"' -^ \ ' -^ ' dx dx"

il est généralement avantageux delà remplacer par le systèmii simultané

Ce système est susceptible d'abaissement, d'après ce qui précède :

1" Si l'équation primitive (21) est homogène par rapport à j^ et à ses dérivées; car le système (22) admettra évidemment la transformation infinitésimale qui remplace jk, J'', ... par y -\- sjk, Jk'+ ^y', • • • , sans altérer ^•

2" Si l'équation primitive se reproduit à un facteur près, lorsqu'on y change x et jk en x-\-s.x, y-^^y\ car le système (22) admettra la transformation infinitésimale qui remplace X, 7, y, y", ..., 7"-< par x-\-tx, y-h^y, /,

r"-'^y% ...,7«-'-(/z-2)£jK"-^

3° Si l'une des deux variables x, y ne figure pas explicitement dans l'équation primitive; car cette variable ne figurera que par sa difFérentielie dans le système (22) et pourra se déterminer par une simple quadrature, quand on aura intégré le système d'ordre n — i, obtenu par l'élimination de cette différentielle.

Sa. Si nous supposons que, non seulement y^ mais ses k — I premières dérivées ne figurent pas explicitement dans l'équation primitive, on n'aura, pour déterminer j^^, ...,jr''~<, qu'à intégrer un système d'ordre n — k

dx -^ ' •••' dx -j^'^^y ' •••.7 )•

Ayant ainsi déterminé j'^, on trouvera, par une série de quadratures,

puis

expression que nous représenterons par la notation suivante :

yk-1 -— J yk fl^t ^

On trouvera de même

y^~^ =■ fy^'~^ dx r= fy^' dx^

et enfin

y^fy^dxK

53. Ces quadratures successives peuvent être remplacées par une quadrature simple.

Soit, en effet, f{x) la valeur trouvée pour y^ en fonction ôe X. On aura, pour déterminer jk, à intégrer l'équation

Or on reconnaît aisément que cette équation admet, comme

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES OUDINAIRES. 5vJ

solution, l'intégrale définie ... . . ^ /

Prenons, en effet, les dérivées successives de cette expression par rapport au paramètre x\ il viendra, en remarquant que f{t){x — tY~^ et ses k — 2 premières dérivées par rapport à X s'annulent pour t ^= x^

Posons maintenant jK = jKi -4- ^ dans l'équation proposée ; il viendra

d'où Zz=:P/.^,

P/v i désignant un polynôme arbitraire de degré k — i .

La solution la plus générale de l'équation proposée sera donc

r = /i + Pyt-i.