TT-TT -I- C
On aura donc œ et y, exprimés tous deux en fonction de la nouvelle variable jk-
55. Comme autre application, cherchons à déterminer les courbes dont le rayon de courbure en chaque point est proportionnel à la portion N de la normale interceptée par Taxe des œ.
Le rajon de courbure R est donné par la formule
hmi
D'autre part, en désignant par a l'angle de la tangente avec l'axe des x, on aura
"-ik.'W'-''^^'-
\dx J
Les courbes cherchées auront donc pour équation difïerenlielle
dx- ny L \dx J J Celte équation du second ordre équivaut aux deux sui
^ TROISIÈME PARTIE. — CnAPITHE I.
vantes
dx ny ^ -^ " dx-^ \ \ .-.
On
déduit
de leur combinaison
y'dy^ dy I H-/'^ ny
et en intégrant,
log(i -h j'^)--= -log/ H- const.,
ou
y\ ri
et enfin
Parmi les cas d'intégrabilité de cette expression, on doit signaler particulièrement les suivants :
i" /i == — 1, d'où
{x — c'y-\-y^:=zc'-.
r.a courbe est un cercle ayant son centre sur l'axe des y. 2'^ /i = r , d'où
/cdy , y -\- \/ y°^ — c- ,
d'où : : :> : ■•.
y + V v" — c'^^ce '-■ ,
et enfin
équation d'une chaînette.
'i'^ n =z — 2, d'où
Posons
il viendra
fv'^.
dy.
y— (i C0SCp),
dy ^=i ~ sincp
//l — COSO C . y r c& C . ,
4/ ^-sincprto^:: I tanff- - sincp «9 y I + GOScp 2 J 2 2 ^ '
— - / 2 sin^- cp<içp = - / (i — coscû)<icp = - (cp — sincp)
La courbe est une cycloïde.
4° n = 2, d'où
équation d'une parabole.
dyz=z2\/c{y — c)
o6. Proposons-nous, comme dernière application, de déterminer le mouvement d'un point attiré vers un centre fixe par une force égale à mf{r)^ r désignant le rayon vecteur et m la masse du point mobile.
Prenons pour origine des coordonnées le point attirant, et pour plan des xy celui de la vitesse initiale. D'après les principes de la Mécanique, la loi du mouvement sera donnée
par les deux équations
On déduit de ces équations les combinaisons intégrablcs
suivantes
d^û: d'-y d / dx dy\
"" -^~dt^ '~'''JF -dty~dt~'''di)
et
dœ d-x dy d'-y .., ^oc dx -{- y dy
" dt dt- dt dC" ^ J^' ^ rdt
I d dx- -\- dy- dr
~2dt dt' ~^'^^^''~dt'
dont l'intégration donne deux équations du premier ordre
dx dy
dt dt
dx'- -4- dy""
y — oc-^- = c,
2 dt
-\-ff{r)dr^o.
Remplaçons les variables x, y par des coordonnées polaires
^r^. rcoscc, vz:=:/sina);
ces équations deviendront
d'où, en résolvant par rapport à db^ et dt et intégrant,
cdr
)dr r dr
sj-c'-2r-'fj\r)dr
Le problème est ainsi ramené aux quadratures.
Les formules précédentes contiennent, comme cela devait
être, quatre constantes arbitraires, à savoir c et les trois constantes introduites par les intégrations.
o7. Appliquons ces formules au cas de l'attraction newtonienne, 011/(7') :^ -^> k désignant une constante, et M la masse du point attirant; on aura
d'où
c dr
J rs/—c'
2/rM/ — 2c'/-2
I , du ou , en posant r = - ? dr ^=^ ->
cdu
ikUu — c-u^ c^ du
sJk-W—ic'c'- — {c^u — kUy c'^u — kM
arc ces
c^u=^kU + \/k^M^— 2c'c^ cos(w — c"
ou
kU -h sJk'^W—ic'c^ cos(co — c") P
