I -\- ecos(w — c ) en posant, pour abréger

£L — / ic'c^

Hï ~^' S/ '^~ k-w~~

On aura enfin (26) rf«=i,-^rf<o= P"''^"'

c[i -I- e cos(co — c")Y

équation qui déterminera t par une quadrature. J. — Cours, III.

Le problème deviendra complètement déterminé si l'on donne à un instant quelconque Ùq les coordonnées Fq, Wq du mobile, sa vitesse initiale Çq et l'angle ao qu'elle fait avec le rayon vecteur. On a, en effet, en appelant ^> la vitesse à un instant quelconque, a l'angle qu'elle fait avec le rayon vecteur

dr^~{- r^' dui^ ^ ^ d^

dl^ ' dt"

Les équations (28) et (24) peuvent donc s'écrire

rv sma

On aura donc, en posant ^ = o,

On déterminera ensuite d' en posant 1^=1^ dans l'équation (25); enfin, l'équation (26), intégrée de ^0 à t^ donnera

/?2 dix>

+ ecos(w — c")]'

L'équation (25) entre /• et to fait connaître la trajectoire du mobile. Oest une conique ayant un foyer à V origine. Ce sera une ellipse si c'>o, une parabole si c'=o, une hyperbole si c'<< o.

On a, d'autre part, en désignant par A l'aire comprise entre la courbe et les rayons vecteurs r et /'o,

\r' dhi =:dK.

L'équation (23) peut donc s'écrire

dk ^-dt-''

d'où, en intégrant de to à t,

Les aires décrites par le rayon vecteur sont donc proportionnelles aux temps correspondants .

Supposons la trajectoire elliptique, et cherchons la durée T d'une révolution. L'aire A correspondant à cette période de temps sera l'aire totale Tzab de l'ellipse. On aura donc

D'ailleurs

c^\l'kUp-=\/ kU. —

Substituant cette valeur dans l'équation précédente, il viendra

La durée de la révolution est donc indépendante de V excentricité de U ellipse, et proportionnelle à la puissance I de son grand axe.

Nous avons ainsi retrouvé toutes les lois fondamentales énoncées par Kepler.