IV. — Équations linéaires aux différentielles totales

58. Les systèmes d'équations différentielles simultanées étudiés dans la Section précédente ne sont évidemment qu'un cas particulier des systèmes d'équations linéaires aux différentielles totales, de la forme

(I) ¥,^dx,-^^'ldxn^o

( /j r= 1 , 2 . . . ., ni\ k =z ni -\- i , . . . , m -\- n)^

Cherchons à déduire de ces équations une combinaison intégrable

On aura évidemment

Éliminant les [jl, on voit que cp sera une intégrale commune aux ni équations aux dérivées partielles

OJ^'h L^k O^k ( /< = 1 , 2 , . . . , /?z ; /: = /?! 4- I , . . . , /?! -h /i ) .

Supposons que ces équations admettent n intégrales communes distinctes cp,, .. ., cp„ (nous verrons plus loin dans quel cas il en est ainsi). Soient y^^ . . ., y m de nouvelles fonctions des x^ formant avec les cp un système de fonctions distinctes. En prenant les cp et lesjK pour variables, les équations (2) prendront la forme

et seront manifestement équivalentes aux suivantes : do d'o

La forme la plus générale des fonctions qui satisfont à ces équations est évidemment

F désignant une fonction arbitraire.

Les fonctions c^,, ..., cp^ étant des intégrales du système (2), on aura des relations de la forme

doiz=z\ IX /,

Cl le système (i) équivaudra au suivant

doy—o, ..., flf,p„^o,

d'où l'on déduit

(pi = const., ..., cp/j = const.

. ■ do-