II. — Équations du premier ordre

12. Considérons une équation différentielle du premier ordre ramenée à la forme normale

dx ou

(i) dy — Xdx=:2 0.

Au lieu de cette équation, on peut considérer, avec Euler, J. — Cours, III. a

la suivante

IX df — (xX da: ■= o,

où [A est une fonction de ^, y choisie à volonté.

L'équation (2) est, en effet, équivalente à (i), tant que {jl

n'est ni nul ni infini. La seule différence est qu'elle pourra

admettre la solution nouvelle [jl=zo, ou perdre la solution

Supposons le facteur ja choisi de manière que le premier membre de l'équation (2) soit une différentielle exacte. On pourra déterminer, par de simples quadratures (t. II, n° 161 ), une fonction o, telle que l'on ait

doz=z ix.df — [jlX dx.

Lors même que ces quadratures ne pourraient s'effectuer exactement, il sera toujours possible de déterminer, avec telle approximation que l'on voudra, la valeur de cp pour chaque système de valeurs de ûo,y.

Gela posé, l'équation (2) se réduit à

(f cp r=^ o

et donne immédiatement

cp = const.

Le problème de l'intégration sera donc résolu dès qu'on aura déterminé, soit la fonction cp, soit le multiplicateur jji, d'où cp peut se déduire par quadrature.