Le déterminant {jl des coefficients p-^= -~- se nomme
le multiplicateur correspondant aux intégrales cp,, . . . , cs„. En remplaçant ce système d'intégrales par d'autres systèmes d'intégrales distinctes, on obtiendra une infinité de multiplicateurs, et Ton voit, comme au n" 43, qu'ils ont pour forme générale p.F(cp,, . . .,cp/,).
Soient a l'un des nombres i, 2, ,.., m\ ^ l'un des nombres m -{- \ ^ . . . , m -\- n. Désignons par D|^ ce que devient le déterminant [.i lorsqu'on y remplace les éléments
à-^i ^ ' \ I '1 ' . ^?i V va ^?'
-,^- (i^],2,...,n) par les éléments -r-^ = — > X?-^-^; àx-^ ^ ' ' ^ ^ d^a Zj/f ^ dj^k
on aura évidemment
On en déduit par différentiation, comme au n*^ 44,
(3) h \ -^j — ^=0 {ci — i2,...,m).
^ = in + \
Réciproquement, toute solution commune [x' des équations (3) est un multiplicateur; car, en posant |Jt.'= [jlv, on verra que v est une intégrale des équations (2); donc v sera de la forme F(cp,, . . . , cp„), et ]x' sera un multiplicateur.
60. Si l'on a réussi à déterminer i intégrales distinctes cp,, . . . , cpi du système (2), on pourra, comme au n" 4o, en les prenant pour variables indépendantes avec d'autres fonctions jr<, . . ., ym+n-i choisies à volonté, remplacer le sys-
tème (i) par un système équivalent, de la forme
(4) <^C5, = 0, ..., <icp, — o,
(5) df/. — \ Y^' dyii ^ o (/c r= /7i 4- i , . . . , /7z + /i — /).
On en déduit
cpi = const., ..., cp,-=z const.,
et il ne restera plus qu'à intégrer le système des n — i équations (5).
D'ailleurs, si l'on connaît un multiplicateur du système (i), on en déduira, comme au n" 4S, un multiplicateur de ce nouveau système.
Si donc on a réussi à déterminer ii — i intégrales et un multiplicateur du système (i), il ne restera plus qu'à intégrer une seule équation, dont on connaîtra un multiplicateur. Le problème sera donc ramené aux quadratures.
61. Les considérations qui précèdent nous conduisent à chercher les intégrales communes à un système d'équations aux dérivées partielles de la forme (2). Mais il conviendra de généraliser la question, en cherchant les intégrales communes à un système d'équations de la forme plus symétrique
Si nous désignons par X^ l'opération
ces équations pourront s'écrire ainsi
X^cpzzrO (/i = I, 2, . . . , m).
Cela posé, toute solution commune à deux de ces équations
satisfera à l'équation nouvelle
car on a séparément
X^'X^-cp m X'(0) =rr O, X^'X'cp =: X^(o) = O.
Si d'ailleurs nous désignons pour plus de clarté par /), , . . . ,
/^w4-/2 ^es dérivées partielles ^^-j •• -, ^ — = — , on aura
X'cp = xi/?i + . . . -+- x;,,^„ /»,„+„,
X^-cp = Xf /?i 4- ... 4- ^i+nPm^n,
et le symbole (X'cp, X^cp), défini comme au n° 47, aura pour valeur
is
.«.-"'il-^î '-!)''•='"''*'"'<*'=''■
Ainsi, toute intégrale commune aux équations satisfera en outre aux équations
X^'X^cp - X^X^'cp = (X'cp, X^cp) =: G
lesquelles sont, comme les précédentes, linéaires et homogènes par rapport aux dérivées partielles de cp.
Si parmi ces équations nouvelles il en est qui soient linéairement distinctes des équations primitives, on pourra les leur adjoindre et recommencer les mêmes opérations sur le système ainsi complété. En continuant à suivre cette marche, deux cas pourront se présenter :
1° On arrivera à un système contenant m -{- n équations distinctes; on en déduira
d(p do
1~~ ^^ ^' /9^~ ^^ ^' ' * ■ ' '^ ^^ const.
En dehors de cette solution banale, les équations proposées n'auront donc aucune intégrale commune.
2" On arrivera à un système
X^^ = o, ..,, X'cpr=o {l<:m -\- n),
tel que toutes les nouvelles équations que l'on peut en déduire soient des combinaisons linéaires des précédentes. Ce système satisfera donc à des relations de la forme
X^'X^-cp — X^^-X^'cp = (X^'cp, X^cp) =. a'/^X^cp 4-. . .4- aJ^-X'cp {i = i, 2,..., /; k — i,i,...,l),
où les a sont des fonctions des x.
Un semblable système se nomme un système complet.
62. Si dans un système complet nous prenons pour variables à la place de ^<, x^, ... de nouvelles variables y^^ j'2) . . ., le système transformé
Y'cp = Y'^ ^^-^ l Y!, --^+...= o (/ = ï,2,...,/)
sera encore un système complet; car les opérations Y*, . . . , Y' n'étant autre chose que les opérations X\ . . . , X^, différemment exprimées, on aura encore
y/ YA-^ Y^ Y^'cp = af Y'cp -4- . . . -f- ap Y'cp,
et il ne restera qu'à exprimer les quantités a en fonction des nouvelles variables jk.
D'autre part; tout système
A^'cp — aiX*cp+. . .+ aJX'cp==o {i=i, 2, . . ., /) équivalent au système complet
est lui-même un système complet.
* En effet, l'expression
(A'cp, A^cp)
ÉQUATIONS DIFFÉRKI^TSELLES OUD.'NAIRES. 73
csi une somme de termes de la forme
+ 4(4, Xî^cp)X>^cp -t- (4, 4)X>^cpX[^cp.
Or (aj, aj,) est évidemment nul, puisque les a ne contiennent pas les variables/?; d'autre part, (ax,XE^cp), (X^cp, aj^) se réduisent à des fonctions des x] enfin (X^cp, Xt^cp) s'exprime linéairement au moyen des X' cp, . . . , X'cp. Donc (A'cp, A'^cp) est une fonction linéaire de ces quantités, qui sont ellesmêmes des fonctions linéaires de A< cp, . . . , A'cp.
63. Etant donné un système complet, contenant m équations, par exemple, où figurent m -{- n variables ^,, .,., Xm+ni on obtiendra, en résolvant ces équations par rapport
à -r-^j • • • ? ^ ' ? un système équivalent, de la forme
dx,^ Zuk dxk
D'après ce qui précède, ce nouveau système sera encore complet.
Les systèmes complets de la forme (6), auxquels nous pouvons dorénavant borner notre étude, ont reçu le nom de systèmes jacobiens.
Pour ces systèmes particuliers, les équations de condition
(X'cp, X^cp) = af X^cp -i- af X^^f + . . . ,
qui caractérisent en général les systèmes complets, se réduisent à la forme plus simple
(X^>,X^-o)=zzO.
En effet, (X^'cp, X^cp) est évidemment indépendant de -,— ? • • ■ , -r-^, tandis que a'/X< cp + af X^o + . . . contient ces dérivées respectivement affectées des coefficients af , a^^, ....
Ces expressions ne pourront donc être identiques que si les a sont tous nuls.
64. Théorème. — Un système jacobien formé de m équations entre m-\-n variables admet n intégrales distinctes.
Nous avons admis provisoirement dans la section précédente la vérité de ce théorème pour le cas d'une seule équation; et nous pourrons évidemment supposer dans la démonstration qu'il ait été reconnu vrai pour les systèmes formés de moins de m équations.
Soit
(7) X*c^ = o, ..., X'«cp=zO
le système proposé. La première équation, considérée isolément, admet m -[- n — i intégrales distinctes y^i • • • 5 JKw+«- Soit^i une autre fonction quelconque, distincte de celles-là. En prenant lesjK pour variables indépendantes, nous obtiendrons un système transformé
X^^cp rzr Mt -1^ -H M;^ -^ 4- . . .=:: o (/i = I, 2, . . . , m),
dont la première équation, admettant JK27 • • • > ym+n pour intégrales, se réduira à son premier terme
ày\
Ces équations, résolues par rapport a -r^-, • • -j -r-^-y clonneront un système jacobien
= 2 , . . . , m ; k =zz m -\- I , . . . , m -i- n)
Or on a évidemment
(Y»cp,Y^)
et, pour que cette quantité s'annule identiquement, il faut qu'on ait
Les équations (9) sont donc entièrement débarrassées de la variable j^',. Elles forment, d'ailleurs, un système jacobien de m — I équations à m -\- Ji — i variables y 2, . . . , ym+m lequel système admettra par hypotbèse n intégrales distinctes. Ces intégrales, ne dépendant pas de jKo satisferont encore à l'équation (8). Il ne restera plus qu'à remplacer dans leur expression y2^ . . . , ym-^n par leurs valeurs en ^,, . . . , Xm+n pour obtenir les intégrales correspondantes du système primitif.
