Soit
cç/(^,, ...,^,„+„) {i—i,i, ...,n)
le système d'intégrales distinctes du système (y), dont l'existence vient d'être démontrée. Ces intégrales, considérées comme fonctions de Xm+iy - > - -, ^m+n seulement, seront encore distinctes.
Admettons, en effet, qu'elles satisfissent à une relation de la forme
F(cpi, . ..,cp„;^,, .. .,œ,n) — o.
L'opération X^, appliquée à cette identité, donnerait
^ àF dF ^. dF dF
(car cp, , . . . , cp,^ sont des intégrales de l'équation X'^cp = o). La fonction F serait donc indépendante de ^i , . . . , Xm, et les fonctions cp,, . . . , cp^^ ne seraient pas distinctes, résultat con- ' traire à leur définition.
Posons maintenant
ç,(.z-i, ..., r,„^„) — Oi{Ci, ..., c,n] '\>i, ..., ^n) {i — i, 2, ..., n),
Cl, ' . ' , c„i désignant des constantes arbitraires. Les quantités (];<, . . ., ^m définies par ces équations, seront des fonctions distinctes des intégrales primitives o/(^,, .. .^Xm^n)- Elles formeront donc un nouveau système d'intégrales distinctes. Elles jouiront d'ailleurs de la propriété caractéristique de se réduire respectivement à ^m+i ? •••7 ^m+n^ lorsqu'on donne simultanément à Xi, ..., x,n les valeurs particulières Cl , . . . , Cm-
Gela posé, remplaçons les m premières variables ^<, . . ., Xm par de nouvelles variables ri, . . ., j)'m, définies par les relations
(10) Xn — C/,-i-{yi — Ci)yu (A = i, 2, . . . , m),
et résolvons les équations transformées par rapport à y~> •••,
-r-^- Nous obtiendrons un nouveau système iacobien
^ dyn Zuk àxu ( /i =z 1 , 2 , . . . ,in\ A- :r= m -4- 1 , . . . , /;i -4- /i ) .
Les fonctions ^^^ . . ., h,i^ exprimées au moyen des nouvelles variables, donneront un système d'intégrales distinctes des équations (i i). Elles se réduiront d'ailleurs respectivement à Xnij^K', ...^Xm^n lorsquc jK, =c,, quels que soient ji^ ...^fm'y car, pour jki = Ci, les équations (10) donnent
X\ — C^ , • * • 5 Xfji — Cjfi.
66. Pour intégrer le système transformé (11), il suffira, comme l'a montré M. Mayer, d'intégrer l'équation unique
(12) Yicp = o.
A cet effet, nous remarquerons que cette équation admet les intégrales '^^^ . . ., ^/j, lesquelles, jointes aux intégrales
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLKS ORDINAIRES. 77
évidentes jKo? • • • » ym-, donneront un système de m + Ai — i intégrales distinctes. Toute autre intégrale
/ ( JKl 5 • • -5 y m 7 ^m-¥-l ? • • • j ^/n+n )
de cette équation sera donc une fonction de celles-là, telle que
Si dans l'égalité nous donnons à yi la valeur constante Ci, il viendra
et, par suite,
/(Cl, ...,/,«; ^1, ...,<1^«) — F(j2, ••.,//«;^i, -..j^/O-
On voit par là qu'une intégrale quelconque / de Téquation(i2) étant supposée connue, on obtiendra immédiatement son expression en fonction de y 2^ • • •> JKm? ^m • • •> '^n, en remplaçant dans la fonction / les variables j^, , Xm+i^ • • • ,
Xm+n par Cl, ^,, . . ., ^n-
Gela posé, admettons que nous soyons parvenus à intégrer l'équation (12), en y considérant j>^i , ^,«^,, ..., a:„/+„ comme seules variables, et y^, ...,7'^ comme des paramètres (ce qui revient, comme nous l'avons vu, à déterminer une solution générale d'un système de n équations différentielles ordinaires). Soit fi^ . . . , fn un système d'intégrales distinctes de cette équation; on aura, ainsi qu'on vient de le voir,
Fi, ..., F/ï étant des fonctions connues de j'2, ..., y m] d*i, . . . , tli/, ; et il suffira de résoudre ces équations par rapport à ^1, ..., à,i pour déterminer ces fonctions, lesquelles forment un système d'intégrales des équations (i i). D'ailleurs, la résolution de ces équations ne sera jamais impossible, car les fonctions j'o, ...,ym ; /n •• 1 fn étant distinctes,
78 TROISIÈME PARTIR. ~ CHAPITRK I.
Jki * '»ifn sont nécessairement des fonctions distinctes par rapport à ^,, .. ., ^n-
67. On peut aller plus loin et montrer que la connaissance d'une seule intégrale /i de l'équation (12) permet de déterminer une ou même plusieurs intégrales du système (i i). On aura, en effet,
F, étant une fonction connue. Résolvant cette équation par rapport à^,, on aura une relation de la forme
où ô, est une fonction connue.
Effectuons sur cette identité l'opération Y'^, h désignant l'un quelconque des nombres i, 2, ..., m. 11 viendra, en remarquant que ^^, . . . , ^^ sont des intégrales de Y'^cp = o,
o = Y^'0, = -^YVi+.
Le second membre de cette équation est une fonction connue de jk< , . . . , x,n+n ; ^21 • • • ? ^n- S'il ne s'annule pas identiquement, il contiendra l'une au moins des quantités (j^, par exemple '^2; car les variables y^, . . ., Xm-^n sont indépendantes. En résolvant par rapport à ^^i o" obtiendra une relation de la forme
Effectuons sur cette équation l'opération Y^, on en déduira une nouvelle équation pour déterminer (j;3, et ainsi de suite jusqu'à une dernière équation qui donnera ^n- Le système (i i) sera dès lors intégré.
On ne pourra se trouver arrêté dans cette suite d'opérations que si l'on arrive à une équation
pour laquelle on ait identiquement
Mais alors, en remplaçant dans 9/ les fonctions inconnues ^/+ii ' ' 'j^n par des constantes quelconques, on obtiendra une fonction cp^- qui satisfait évidemment aux mêmes équations, et qui sera, par suite, une intégrale du système (i i).
68. Nous pouvons énoncer, comme résultat de cette étude, le théorème suivant :
Pour qu'un système d'équations aux différentielles totales
(l) F/,r=.^^;t-V X^^^/.rzzO
admette n intégrales distinctes
cpi =: const., ..., cp,j=r const.,
il faut et il suffit que les équations aux dérivées partielles
forment un système jacobien.
Cette condition étant supposée remplie, la recherche des intégrales du système dépend de l'intégration d'un système de n équations différentielles simultanées.
Chaque intégrale de ce dernier système fournira au moins une intégrale du système proposé.
69. Soit S un système d'équations aux différentielles totales de la forme (i) et admettant n intégrales distinctes o,, ..., cp,;. Si nous y changeons ^,, ..., Xm^n en ^, + s^j, ..., ^m+n + ^im+rt, £ étant un paramètre infiniment petit, dont nous négligerons le carré, et Ç, , . . . , ^m+n des fonctions de ^1, . . . , Xm-i-ni nous obtiendrons un autre système S'.
8o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
A toute intégrale cp du système S correspondra évidemment pour le système S' une intégrale
en désignant par A l'opération
iA
Cette opération est complètement définie quand ç<, ..., \m+n sont donnés , et réciproquement. Soient d'ailleurs JKi , • • 'lym+n ^^ nouvelles variables quelconques, fonctions des X. Lorsque x^^ ,..^Xni^n s'accroissent respectivement
de si,, ..., £?,«+«, j'i s'accroîtra de
(y àvi , , > dyt
quantité que nous désignerons par zr^t. D'autre part, on a évidemment
d dy, d ^ dfz d ^ dxi dxi àyx dxi dy^
On déduit immédiatement de là l'égalité
. d ,âd â
dx, ^'"^"dx„,^, '^dy, '"'^■''dy
L'opération associée à la transformation infinitésimale considérée reste donc la même, lorsqu'on change de variables indépendantes.
Nous désignerons, pour abréger, par Acp la transformation infinitésimale qui correspond à l'opération A, et qui, par suite, change l'intégrale cp en cp -|- sAcp; et nous dirons que le système S admet cette transformation infinitésimale Acp si le système transformé S' est équivalent à S.
Pour cela, il faut et il suffit que le système S' soit équivalent au système
^cp, ~ o, .... d^n-^ o,
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 8l
auquel S est équivalent; et, par suite, que les systèmes S et S' admettent les mêmes intégrales.
Or à toute intégrale cp de S correspond une intégrale C5 -h £ Acp de S'. Celle-ci devra être une intégrale de S, ou, ce qui revient au même, Acp sera une intégrale de S.
Si donc nous désignons, comme précédemment, par
les équations aux dérivées partielles qui caractérisent les intégrales de S, ces équations devront entraîner comme coiiséquence les suivantes
X''- ko -.zz:. o {h ---i, 2y . . ., m)
ou, ce qui revient au même, celles-ci
X^Ao — XX^'o— (X^'cp, Acp) — G (A — i,2,...,/?ê)
[car on a identiquement AX^'cp = A(o) = o]. Cela posé, le système formé des équations
X^^cpzrzo, (X^cp, Acp)r=rO (h = j , 2, . . . , m),
admettant /i intégrales distinctes cp<, . . ., '^/;, ne pourra contenir plus de m équations linéairement distinctes. On aura donc
(i3) (X^'cp, Acp)r=:'4X'cp-t-...-4-aî,X'«cp {h ^ l , 2, . . . , m) ,
les coefficients a étant des fonctions des œ. D'ailleurs il est évident que ces conditions seront suffisantes.
