Considérons, en second lieu, l'équation différentielle

où f{x^ y) a la même forme que dans l'exemple précédent. Cherchons à déterminer les intégrales de cette équation, qui s'annulent pour x ^z o.

Soit

/(•^j 7) — 'ky^a^^x^ ^20^' -f- «11 '^Z +

Substituons, dans l'équation différentielle, à la place de j^, une série

(i5) r = Ci.r -f- c,^^ +. . .,

et égalons les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres. Nous obtiendrons une suite d'équations de la forme

où cpjj^ est un polynôme à coefficients entiers positifs, formé avec les coefficients a, et les quantités Cj, ..., Cjj<.

Si \ n'est pas un entier positif, on pourra résoudre ces équations par rapport aux c, et l'on en déduira un résultat de la forme

^^ étant une somme de termes ayant pour numérateur un

produit de coefficients a, multiplié par un entier positif, et pour dénominateur un produit de facteurs de la forme [x — X. Ces derniers facteurs sont tous différents de zéro, et leur module croît indéfiniment quand [jl augmente. On pourra donc déterminer une limite inférieure / de leurs modules.

Cela posé, la série (i5) satisfait à l'équation (i4); mais il faut prouver qu'elle a un ra^on de convergence certaine. Or on accroîtra les modules de ses termes, en y remplaçant,

d'une part, les coefficients a^p par les quantités ô> limites

supérieures de leurs modules, et, d'autre part, les facteurs en dénominateur par /, limite inférieure de leurs modules. Mais la nouvelle série, ainsi obtenue, est évidemment celle que l'on trouverait en cherchant à développer la racine infiniment petite de l'équation algébrique

et converge pour des valeurs de x suffisamment petites.

9o. Pour reconnaître s'il existe d'autres intégrales que la série que nous venons de déterminer, et s'annulant également pour ^ = o, posons

z étant une nouvelle variable. Substituant cette valeur dans l'équation différentielle et supprimant les termes indépendants de s, qui se détruisent, nous obtiendrons l'équation transformée

dz > (i6) iJC -^ = z{l ^ bio^ -h b^iz -h b,o^^ -^ - ")■

Nous avons à chercher une solution z de cette équation, J. — Cours, III. 8

Il4 TROISlfî^tE PARTIE. — CHAPITRE I.

qui ne soit pas conslamment nulle aux environs du point ^ z= o, mais qui tende vers zéro lorsque x tend vers zéro suivant une loi convenable.

Soient donc

^0 un point voisin de l'origine; ;;o<o la valeur correspondante de z\

L une ligne allant de x^^ à l'origine, et telle que z tende vers zéro quand x décrit cette ligne.

L'équation (i6) pourra s'écrire

OU, en supposant que \ ne soit pas nul et développant en série le dénominateur de dzj

et, en intégrant àe Xq k x le long de la ligne L,

-log- -log —

— / {c^-\-c^z-\-...)dz -^ i

dx.

Si ^ tend vers zéro, z tendant également vers zéro, les intégrales du second membre tendront vers des limites finies et déterminées. Le second membre sera donc de la forme A -f- e, A étant une constante et s s'annulant avec x. On aura par suite

' logf -log^ =A-i-£;

d'où, en passant des logarithmes aux nombres,

C désignaïjt une quantité finie et différente de zéro.

Pour que z tende vers zéro, il est donc nécessaire que x^ tende vers zéro en même temps que x. Discutons cette condition.

Soient

\^=^p ^ qi^ ^ — p(cosO 4- isinÔ),

on aura

XlOgX — - g(p-f-(irO(Logp4-{0)