I -— g;)Logp— vO

Quand X tend vers zéro, son module p tend vers zéro, son argument B pouvant varier d'une manière arbitraire, suivant la nature de la ligne suivie L. Pour que ^^ tende vers zéro, il faut et il suffît que /?Logp — ^8 tende vers — oc .

Soit d'abord ^=z=o. Cette condition sera toujours satisfaite, quelle que soit la ligne L, si/? est positif; mais elle ne pourra jamais l'être si p est négatif. Dans ce dernier cas, il n'existera donc aucune intégrale de l'espèce cherchée.

Si q n'est pas nul, on pourra toujours déterminer B en fonction de p, de telle sorte que la condition

Jim(/?Logp — 70)=: — 00

soit satisfaite ou ne le soit pas. Mais ici il convient encore de distinguer le cas où p est positif de celui où il est négatif.

Si /? > o, la condition précédente sera satisfaite toutes les fois que B sera assujetti à varier entre des limites finies. Pour que a^ ne tendît pas vers zéro avec x^ il faudrait donc que la ligne L fût une spirale décrivant un nombre infini de révolutions autour de l'origine.

Si p <C o, le contraire aura lieu et oc^ ne pourra tendre vers zéro avec x que si L est une semblable spirale.

96. Ces préliminaires posés, nous allons démontrer qu'à chaque valeur de la constante c correspond une intégrale de l'équation (16), développable en une série à double entrée suivant les puissances de x et de x^ et convergente tant que ces deux quantités seront suffisamment petites.

Il6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

Posons en effet

X^ll

l'équation (i6) deviendra

(17) ^'dx~ «<(6io^4- h^^x^ii + 620^^ + . . .)•

Substituons pour u une série à double entrée

Egalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres, il viendra

F[xv étant un polynôme à coefficients positifs, formé avec ceux des h et des c où la somme des indices est moindre que

Celle de ces équations qui donnerait Coo est identique; ce coefficient reste donc indéterminé, et l'on pourra lui assigner la valeur donnée c.

La résolution des autres équations donnera

(p^,v étant un polynôme dont chaque terme est un produit de facteurs h^ multiplié par une puissance de c et par un entier positif et divisé par un produit de facteurs de la forme s -\-\t^ 5 et ^ étant des entiers positifs, dont l'un peut être nul.

Le module des facteurs s -\-\t =^ s -{- pt ^ iqt est différent de zéro et croît indéfiniment avec 5 ou ^ (l'hypothèse ^ = o, /? <C o, étant exclue par ce qui précède). On pourra donc trouver une limite inférieure /n, telle que l'on ait

\ s ^-lt\'> m pour toute valeur de s et de t.

La série que nous venons de déterminer est une solution de l'équation différentielle (17) satisfaisant aux conditions posées, solution admissible tant que la série sera convergente. Or on diminue évidemment la convergence en remplaçant partout les facteurs s-^'kt par m, c par son module G

et les coefficients è^p P^ï" les quantités -;^^> limites supérieures de leur module. Or on voit sans peine que la nouvelle série obtenue est celle que l'on trouverait en cherchant à développer suivant les puissances de x et de x'^ celle des deux racines de l'équation

qui se réduit à G pour ^ = o, x^' = o.

Mais cette racine est évidemment continue et monodrome tant que les modules de x et de x^ resteront au-dessous d'une certaine limite. Donc, tant que cette condition sera satisfaite, V sera développable en série convergente suivant les puissances de X et de x^, et la série qui donne u sera a fortiori

97. Supposons maintenant "k entier et positif. S'il est ;> i , posons