X -\- xz

L'équation transformée en z^ divisée par le facteur commun x^ prendra la forme

^-T^ = (X — i)^ + ^lo^H- ^20-^^+ ^11-^^ -+■• • •

et sera semblable à la primitive, le premier coefficient \ étant diminué d'une unité.

Par une série de transformations analogues nous pourrons

Ilo TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

réduire ce coeifîcient à l'imité. Reste donc à considérer l'équation

dv ('8) x-^z y -\- a^QOc — a^Qx'^^ a^^xy -\-

Nous allons démontrer qu'elle admet pour intégrale une série procédant suivant les puissances entières de :r et ^ log .r et contenant une constante arbitraire.

Désignons à cet effet par Aïo, • . . , A^p, ... les modules des coefficients ci^q^ . . . , a^p, ... ; par \ une quantité positive un peu moindre que l'unité, et considérons d'abord, au lieu de l'équation proposée, la suivante :

dy

{nj) X -^ Xj-i-A,o^=A2o^--hA,i^j -h

D'après ce que nous venons de voir, elle admet comme intégrale une série procédant suivant les puissances de x et de oc^ et contenant une constante arbitraire.

Posons

^'^> rrz ^ -f- ( I — \)t.

Par cette substitution, nous obtiendrons, comme nouvelle forme de cette intégrale, une série procédant suivant les puissances de x et de ^, et qui sera encore convergente quand ces variables seront assez petites. Pour calculer directement les coefficients de cette nouvelle série, nous remarquerons qu'on a

d'où

dt \a?' — X

dx I — À

Posons maintenant

(20) y = G,^x-\-C^,t -{-... +C^^xV-C' + ...^Sc^^xV-t';

on aura

-|=Sc^-^H-''''+^"*''^-';£J

Substituons ces valeurs de jr et ^ -j^ dans l'équation proposée et égalons les coefficients des mêmes puissances de x et de t dans les deux membres. Les termes en t se détruisent identiquement; ceux en x donneront

(i — X)Cio— Goi + Aio — o.

Enfin on aura généralement, lorsque [i. 4- v >> i ,

(21) ({J.-hXv X)C[xv— (v 4-l)G^i,v+i= ?p,

(pjjLv étant le coefficient du terme en œl^t^ dans le second membre de l'équation. D'ailleurs on voit sans peine que cp^^^ est une somme de termes de la forme

où K est un coefficient binomial et où les indices a, j^, p.^, Vo ••• satisfont aux relations

[Xi + ...-t-(Xp=[j. — a.

Ces équations permettent de déterminer de proche en proche tous les coefficients Cj^v en fonction de Cio, qui reste arbitraire.

Ce premier coefficient étant supposé réel et positif, la résolution des équations précédentes donnera pour C^^^ une

expression de la forme

F|xv étant une somme de termes positifs dont chacun est le produit : i" d'une puissance de Cio? 2° d'une puissance de Goi =A,oH- (1 — )^)Cio, ^° d'un produit de coefficients Aap,

4" d'un facteur numérique indépendant de X; le tout divisé par un produit de facteurs de la forme

[x-hXv — X, [j,'-f-Xv' — X, ....

On remarquera d'ailleurs que le nombre de ces facteurs, qui figurent ainsi au dénominateur de chaque terme, ne peut surpasser 2 ia + v — i .

Supposons en effet que ce théorème soit vrai pour tous ceux des coefficients dont le premier indice est <; [,«. et pour tous ceux dont le premier indice est égal à [x et le second indice <^v. Si nous substituons pour ces coefficients leurs valeurs dans l'équation (21), elle donnera pour C|jiv une somme de termes dont le premier contiendra en dénominateurs un nombre de facteurs au plus égal à