I-h2(;JL — 1) + v-f-i — I = 2îJ.-f-V — T

Dans chacun des autres termes, le nombre des facteurs en dénominateur sera au plus égal à

D'ailleurs la proposition se vérifie immédiatement pour C02Î donc elle est vraie généralement.

Cela posé, faisons tendre \ vers l'unité.

L'expression t = ^— aura pour limite celle-ci

^'— — — — =— ^log^,

laquelle satisfait à l'équation

dt' œ-j- — t' dx

L'équation (19) sera changée en

x-^ —y 4-Aoi^=A2o^-4-An^/ -f- •

et, SI l'on cherche à satisfaire à cette dernière par une série de la forme

les nouveaux coefficients G' seront évidemment donnés par les mêmes formules que les G, sauf le remplacement de \ par l'unité.

Pour montrer la convergence de cette nouvelle série, comparons un terme quelconque T' de Gjj,v au terme correspondant T de Gf;,v. Les facteurs A,o-l-(i — X)Gio, qui figuraient au numérateur de T sont remplacés par la quantité moindre A^o. Quant aux facteurs a+)^v — \ du dénominateur, ils sont remplacés par des facteurs ;j. -t- v — i, qui leur seront au moins égaux si v n'est pas nul. D'autre part, si v est nul, auquel cas p-> 2, on aura

(jt. — I ^ Le nombre total des facteurs du dénominateur étant

^2[J--hV — I<2({J.4-v),

on aura donc

-Xy-iv-^^)

et, par suite,

Gela posé, soit r le rayon d'un cercle dans lequel la série (20) est convergente : on aura, en désignant par M une constante,

et, par suite,

La série (22) sera donc convergente dans un cercle de rayon (2 — \)~'^r.

Revenons enfin à Téquation primitive (i8) et cherchons à y satisfaire par une série

Co\ étant une quantité arbitraire ayant pour module Goi- Il est clair que les coefficients c'^y seront déterminés par les mêmes formules que les coefficients GJ^^, sauf le remplacement des quantités

par

^loj <^]0' • • • » ^a,S

et que les coefficients cj^v auront les C'^^ pour limites supérieures de leurs modules. La nouvelle série sera donc convergente pour des valeurs assez petites de x et de t'.

98. Considérons, en dernier lieu, une équation algébrique irréductible

entre j)^ et sa dérivée, et de degré n par rapport à celle-ci.

Une intégrale y de cette équation sera complètement

définie si l'on donne pour la valeur initiale Xq de la variable

indépendante ^ : i** la valeur initiale j'o de j^, laquelle peut

être prise arbitrairement; 2^ la valeur initiale de —-, laquelle

devra être choisie parmi les n racines de l'équation

Si Ton fait décrire à x une ligne continue quelconque, y cl -— varieront également d'une manière continue tant

que X ne passera par aucun point critique.

Soit ^ l'une de ces valeurs critiques. Nous avons vu que lorsque x tend vers ^ trois cas pourront se présenter :

i" y ne tend vers aucune limite;

2° y tend vers une valeur finie r^ pour laquelle l'équation

admette une racine multiple ou infinie, et — tend vers cette

racine.

3*^ y tend vers co.

La première de ces hypothèses doit être rejetée. On pourrait, en effet, assigner à œ une valeur ^' plus voisine de ^ qu\ine quantité arbitraire £ et telle : i° que la valeur correspondante de y eût son module au plus égal à une quantité fixe A; 2" que la distance du point r/ à chacun des points Tj

dy pour lesquels l'équationy = o donne pour -—- une racine multiple ou infinie soit au moins égale à une quantité fixe 8.

Soit 7' une quantité positive moindre que ô.

Pour toute valeur r/ de y qui satisfait à ces conditions, les m racines de l'équation /= o seront développables en série convergente suivant les puissances dey — v]' dans l'intérieur d'un cercle de rayon /' décrit autour de '/]' et sur sa circonférence. Elles resteront donc finies et continues. La région du plan couverte par ces cercles est d'ailleurs bornée et parfaite. Le module d'aucune de ces racines ne pourra donc surpasser un maximum fini M.

Cela posé, l'élément de fonction analytique, qui permet de déterminer la variation de y au delà du point ^', a un rayon de convergence certaine, qui peut cire assigné en fonction des deux nombres fixes r et M et qui, par suite, est lui-même un nombre fixe, plus grand que l'infiniment petit £ qui représente la distance des points ^' et Ç. Ce dernier point ne peut donc être critique, comme nous l'avions supposé.

Nous connaissons donc a priori les valeurs de y, finies ou infinies, qui correspondent aux points critiques.

99. Soit Tj l'une de ces valeurs, supposée finie. Nous savons qu'en faisant tendre y vers /) suivant une ligne con-

venable, nous pourrons faire en sorte que -^5 ou son

inverse -7- tende vers l'une quelconque des n valeurs fournies par l'équation

Chacune de ces racines peut être développée aux environs du point T, suivant les puissances croissantes, entières ou fractionnaires de y — ■^•

Soit

dx ^ ^

(23) ::=A(7-rî)P+B(y-^y' + ...

l'un de ces développements; /?, a, [3, . . . étant des entiers

sans diviseur commun.

Si p -h a^o, l'intégrale du second membre, prise de jk^Tj,

aura une valeur infinie ; y ne pourra donc atteindre la valeur yj

dx\ avec cette détermination de -y- j pour aucune valeur finie

de X.

Si/? + a>>o, l'intégration donnera, en désignant par ; la valeur finale de x,

et ç pourra être un point critique de l'intégrale y.

Pour nous en assurer, développons, suivant les puissances

\ croissantes de x — ?, celles des valeurs de (jk — "^Y qui s'annulent avec x — \. Ces développements seront de la

forme

{y — -^iY — c^u -\- c^iî^ -^ . . .,

où a représente successivement les diverses valeurs du

radical (x — i)^^.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDLVAIRES. 125

On en déduit

y — 7] — {CiU-\-C2iâ-h...)P=c'f, iiP 4- Cp+j mP+1 +

On voit par là que le point \ est en général un point critique algébrique pour l'intégrale y. Ce sera un point ordinaire, au moins lorsqu^on j arrive avec la détermination

de -T- que nous avons adoptée, si le développement Ae y ne dy

contient que des puissances de u multiples de /? + a.

Ce cas se présentera si y? -f- a = i . Cette condition est

d'ailleurs nécessaire. Supposons en effet qu'on obtienne^

pourjK — '/;, un développement suivant les puissances entières

et positives de :r — i, tel que

j — rj = C ^ ( ^ - 0 '7 + C ^+ 1 ( ^ — 0 '^'^ ' H- • • • •

On en déduira, en renversant Ja série,

oo — l — c,jn{y — r^)n-\-d{y — T,)n^

Comparant avec le développement (24)1 on voit qu'on doit avoir

[A, V, . . . étant des entiers. Mais/7, /? + a, /> + p, ... n'ayant pas de facteur commun, on aura [x = i, d'où/? -f- a = i. Considérons maintenant une valeur infinie de y. Posant

7 = -î nous obtiendrons une équation transformée

«=/{-iS.-;)=/.(S'=:

Cl 3C

et nous développerons les diverses valeurs de -7^ suivant les

ciz

puissances croissantes de z. Soit

dx ^ ^-

clz

un de ces développements. Intégrons-le de ^ à zéro. Si /;>4-a^o, l'intégrale du second membre sera infinie. Donc^

ne pourra devenir nul ou y infini, avec cette détermination de la dérivée, pour aucune valeur finie de x.

Si /?4-a>o, on aura, en appelant Ç la valeur de x pour jz = o^

y. pA —- pB '—r-

d'où, en posant (x — 1)p^^ z=: u^

et enfin

z— c'^uP-{- c^+1 uP-^'^

y— - = -T u~P + du-P^

Donc \ sera, en général, un point critique algébrique pour la fonction j/-, lorsqu'on j arrive avec la détermination de la dérivée que nous considérons. Ce sera un pôle, si /> 4- a := I .

Nous avons ainsi déterminé la manière dont la fonction jk se comporte aux environs de chaque point critique; mais la position de ces points critiques reste encore inconnue.

100. Considérons, en particulier, le cas où y est une fonction uniforme. D'après ce qui précède, ce cas est caractérisé parla condition que, dans chacun des développements précédents, /> + a est nul ou négatif ou égal à l'unité.

Si cette condition est remplie, y^ n'avant que des pôles, sera une fonction méromorphe. Nous allons montrer qu'on peut la déterminer par des opérations purement algébriques.

En effet, -7- étant une fonction algébrique dejK, ^ considéré comme fonction de y sera une intégrale abélienne et aura, pour chaque valeur Y de y, n systèmes de valeurs

Xi H- 2/?iW -f- 2 7?i'io'h-, . .,

X„ -h 2 m w -f- 2 /?i' 00' ~f- . . . , où m, m\ . . . sont des entiers et 2 to, 2to', ... des conslantes

linéairement distinctes, chacun de ces systèmes de valeurs

correspondant d'ailleurs à une des n déterminations de —r-

dy

pour y z=:zY.

L'intégrale jK, considérée comme fonction àex, admettra donc les périodes 2(jl>, 20)^, ..., et, comme une fonction méromorphe ne peut avoir plus de deux périodes linéairement distinctes, trois cas pourront se présenter.

101. Vv.^Mmv.cks : Il existe deux périodes distinctes, 203 et 2u)'. — L'intégrale y sera une fonction méromorplie et doublement périodique d'ordre n.

A chaque valeur de y, finie ou infinie, et à chacune des

dx déterminations de -7- correspondront des valeurs finies dex,

une dans chaque parallélogramme des périodes. Pour que ce cas se présente, il faudra donc que, dans chacun des développements (28) et (25),/? + a soit égala i; car, s'il était nul ou négatif, ce développement ne pourrait fournir aucune valeur finie pour^.

Gela posé, soit p{u^ g2i gs) la fonction elliptique de Weierstrass qui admet les deux périodes 2to et 20)'. La fonction p(x — Xq, g2^ gz) elliptique du second ordre, sera liée ky par une équation algébrique

du second degré en y et de degré n en p[x — ^01 g2^ gs)- H reste à déterminer : 1° les coefficients A, B, ... du poljnôme F; 2"^ les invariants ^2? ^'3- On y parviendra en développant le premier membre suivant les puissances croissantes de ^ — Xq et identifiant le résultat à zéro. On a, en effet,

p{x — Xo, g^, g,)=j-—^—-^^ H- -L o^2(^-^q)2

[x — ^0)" 20 ÏÏ8

D'autre part, l'équation

dx

donne, par différentiation, les dérivées successives de y exprimées au moyen de jk et —-' Or, pour x = Xq, on connaît la valeur jKo de y et l'on a précisé, en outre, celle des racines de l'équation ci-dessus que l'on choisit comme valeur

initiale de -7-' On peut donc déterminer, pour x = Xq^ la

valeur de y et de toutes ses dérivées et, par suite, développer j^ suivant la série de Tajlor.

Les équations, fournies par cette identification à zéro, sont évidemment linéaires et homogènes par rapport aux coefficients A, B, ... et algébriques par rapport à g2, gz-

102. Deuxième CAS : Il n'existe qu'une seule période 20). — Ceux des développements (sS) dans lesquels /> -f- a >> o donneront chacun une série de pôles de la fonction y, ayant pour formule générale ^0+ amw (^0 restante déterminer). Aux environs de chacun d'eux, on aijra pour y un développement de la forme

•^ {x — ^0 — 2moi)i' X — Xq — 2mw

où p et les coefficients a^, . . ., «o? • • • sont donnés par l'analyse précédente et ne dépendent pas de ni. Cela posé, l'expression

admet la période 2 to. Elle a pour pôles les points Xç^-^ ini w, les résidus correspondants se réduisant à l'unité.

Sa dérivée d'ordre k admettra les mêmes pôles et sera, aux

environs du pôle ^o + 2mto, de la forme

R ne devenant plus infini.

On aura donc

du (-1)^"' ^^"^«

le reste y' admettant la période w et les pôles de j-, sauf ceux de la série Xq + inibi. On trouvera de même

S désignant une nouvelle fraction rationnelle formée avec

e ^ Gly" une autre fonction périodique où une seconde série de pôles a disparu. Continuant ainsi, on pourra mettre y

sous la forme

TZr.r

T étant une fraction rationnelle en e ^ et Y une fonction périodique qui n'a plus de points critiques à distance finie, et qui, par suite, sera développable par la formule de Fourier en une série procédant suivant les puissances positives et

TT/.r

négatives de e '^ . Or M. Picard a démontré que, si cette série contenait un nombre infini de termes, l'équation précédente donnerait en général, pour chaque valeur dey, une in-

TZix

fînité de valeurs de e " . Mais à chaque valeur de y correspondent n séries de valeurs de x; et, comme les diverses

valeurs d'une même série donnent la même valeur pour e ^ , cette quantité n'a que n valeurs pour chaque valeur de y. Donc la série Y sera limitée, et y sera une fraction ration-

TT/.r

nelle en e ''^ ; on aura donc

Pet Q étant deux polynômes entiers en e '^ , l'un de degré /?, l'autre de degré ^«.

J. — Cours, III. Q

l3o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

Les coefficients de ces deux polynômes se détermineront comme dans le cas précédent.

Il est aisé de trouver le critérium qui caractérise ce second cas. En effet, pour chaque valeur dey, l'équation (26) donne

en général, pour e ^ , n valeurs finies et différentes de zéro ; d'où résultent pour œ, a classes de valeurs x^ -f- 2/?îw, . . . , x,i-\ -\- 2/?ito, ^oj • • -5 ^n-\ étant des quantités finies.

11 y a toutefois exception pour les deux valeurs (finies ou

«TC/.r

infinies) de y qui annulent le coefficient de e ^^ ou le terme

TZix Tlix

indépendant de <? '^ ; car ces valeurs donnent pour e^ une racine, ou un groupe de racines, nulles ou infinies, auxquelles ne correspond aucune valeur finie de x.

Soit, par exemple, y s la valeur de y qui annule une ou plusieurs racines de l'équation. Soit q le nombre de ces racines. Aux environs du point jr, on pourra les développer en séries de la forme

TZix J. 2

On en déduit

"'''-log[?i(i

tù

=:r - log(/ -/i) H- Ti+ T2 (7 -rO'^H-. . .;

d'où, en prenant la dérivée par rapport à 7

dx w I Y2

^^^ df rùq y—y, iiiq^^ -^'^

Soit de même y^ la valeur de y qui donne des racines infinies, en nombre q' . On pourra développer leurs inverses en séries de la forme

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l3l

d'où l'on déduit

Si les racines nulles ou infinies correspondaient à une valeur infinie de y, ces développements suivant les puissances de y — jKi ou de y — y^ devraient être remplacés par des

développements analogues suivant les puissances de - =:= i:.

Les deux développements précédents doivent évidemment faire partie de la série des développements (28) et (ao). Donc parmi ces derniers il en existera deux qui commencent par un terme de degré — t et pour lesquels /? + a sera nul, cette quantité étant égale à i pour tous les autres, qui doivent donner pour x des valeurs finies.

L'identification de ces deux développements avec (27) et (28) fera d'ailleurs connaître la période to, et les entiers q^ q' .

103. Troisiîïme cas : Il n^y a aucune période. — Dans ce cas X ayant n valeurs seulement pour chaque valeur dejK, et n'ayant que des points critiques algébriques, sera une fonction algébrique de y. Réciproquement, y sera algébrique en X et, comme il est uniforme, il sera rationnel. On aura donc

P et Q étant des polynômes entiers en x^ l'un de degré /?, l'autre de degré ^aï, dont on pourra déterminer les coefficients comme précédemment.

Pour chaque valeur dey, on aura n valeurs de x^ généralement finies. 11 n'y aura d'exception que pour la valeur (finie ou infinie) dej^ q^i annule le coefficient de .r'^, et à laquelle correspondra une racine^ ou un groupe de q racines, infinies. Les inverses de ces racines pourront être développées en séries de la forme

l32 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

d'où

^"ïi(/-yi) '^-^ï2 + T3(/-yi)'7 -f- ...;

Donc l'un des développements (23) [ou des développements (25) si la valeur de y qui rend x infini est elle-même infinie]

commencera par un terme d'exposant — On aura donc

pour ce développement/? -f- a = — i, et pour tous les autres /; -h a = I .

Les divers caractères dont nous avons reconnu la nécessité dans chaque cas, étant contradictoires entre eux, seront en même temps suffisants. On pourra donc a priori reconnaître dans quel cas on se trouve, sans qu'il soit besoin de tâtonnement.

lOi. Gomme application des résultats qui précèdent, cherchons, parmi les équations binômes de la forme

iè)''=^^if—')''if--^)'-

n^ )vj,)v2, ... étant des entiers sans diviseur commun, celles dont l'intégrale est monodrome.

Les points critiques de

dx -'' -^ -^^'

^rrrA "(j-^i) " (/ " «2) V,.

sont «,, a.,^ .... Pour l'un d'entre eux a^^ on aura comms développement

|^p.(,-«.nV....

D'autre part, si l'on pose jk= -5 on aura l'équation transformée

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l33

d'où

Si donc nous posons, pour abréger,

il sera nécessaire et suffisant que [jl, [ji,, |jl2, ... soient de la

forme -— — ' ï o^i ^^ ^ • Ces quantités satisfont d'ailleurs à

P la relation

(29) fA-f- [X,-f-[X,-}-.. .= 2.

Premier cas : L intégrale est doublement périodique.

Dans ce cas, p., [x,, ji.2, ... seront tous de la forme —

P et, par suite, au moins égaux à {, sauf j^., qui peut être nul.

Supposons d'abord [^ = 0. Il résulte de l'équation (29) que le nombre des quantités jx,, jjio, ..., qui sont toutes J^, mais <^i, sera 4 ou 3.

S'il y en a quatre, on aura nécessairement

V'\~V"L~'^i—\H~\, d'où \—\^—\..— \,

S'il y en a trois, on aura, en substituant dans (29), pour p-M [^2, [^35 leurs valeurs —

Pi Pt Pz

Pi Pt Pz

Les quantités /?< , /?2, p^ étant supposées rangées par ordre de grandeur croissante, on en déduira

— Ji, d'où /?!— 3 ou 2.

Si /?< =z 3, on devra avoir

d'où

Xs-

Si

Ps

viendra

Pi

CDAPITRE I.

d'où

Si /?o = 4? Oïl aura aussi

Si /-?2=^ 3, on aura

ce qui donne les deux solutions

Xi=r2, Xs Xir=3, X,:

/Z -iri 4,

4, Xg-rô, /^ — 6.

Les solutions où [jl n'est pas nul se déduisent évidemment des précédentes par la suppression d'un facteur. On obtient ainsi les nouvelles solutions

Il r= 1,

Il r=z 3,

Xi=I,

Xi=4,

X^rzzS,

X^iz^S,

Deuxième cas : L intégrale est simplement périodique, — L'un au moins des nombres [ji, [a,, p.2, . . . sera égal à i. Soit d'abord p. =:^ o, pi, = i. L'équation (29) deviendra

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l35

les quantités |jl2, p<-3, ... étant égales à i ou de la forme

ZLnJ.

On voit par cette équation que le nombre des quantités

^2, p^3, ... ne peut surpasser deux.

Si ces quantités sont au nombre de deux, on aura nécessairement

i d'où

S'il n'existe qu'une seule quantité [^2, on aura

■ d'où

Les solutions où \k n'est pas nul s'obtiendront encore par la suppression d'un facteur et seront les suivantes :