X2=II

Al = 2,

nr- l.

Troisième cas : L! intégrale est rationnelle. — Une des quantités [x, [jl,, ... sera de la forme > et les autres de

la forme ~

bi UL =:= o et ui, = ^ j uio =: j • • • j il vicncira

^ q ^' Pi

On aura donc

(Xgzz:...— o et Pï~=^q, d'où

Xi=7-4-i, X2=^~i, 'i = <7,

rentier ^ restant arbitraire.

l36 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. — ÉQUATIONS, ETC.

Enfin, si |x n'est pas nul, on aura les solutions

Xi=«7 — I, n — q.

lOo. Les considérations développées dans cette Section permettent de définir, d'une manière plus précise, les diverses sortes d'intégrales que peut présenter une équation différentielle

Soit Xç^ une valeur particulière de la variable indépendante. A toute valeur initiale y^ donnée à j", et telle cjue (^ojJKo) soit un point ordinaire pour la fonctiony, correspond, comme nous l'avons vu, une intégrale de l'équation dilTérentielle, dont on pourra suivre la variation, soit dans tout le plan, soit dans une région limitée par des lignes singulières. Outre ces intégrales, ordinaires par rapport au point x^^ et qui diffèrent les unes des autres par la valeur de la constante jKo, il peut en exister d'autres, qui deviennent infinies ou indéterminées pour x = x^^ ou prennent en ce point une valeur JK07 telle que(^07j^o) soit un point critique pour la fonction/. Ces intégrales seront dites singulières par rapport au point Xq.

Gela posé, nous appellerons intégrale générale l'ensemble des intégrales particulières qui sont ordinaires pour quelque valeur de x', intégrales singulières celles qui seraient singulières par rapport à toute valeur de x.

11 est clair que l'existence de ces intégrales singulières sera un phénomène exceptionnel. Soit en effet F(^,j)=:o la relation qui doit exister entre x et y pour que /présente un point critique en x, y] il faudra, pour qu'il y ait une intégrale singulière, que la valeur de j^ en fonction de x^ tirée de l'équation F = o, satisfasse à l'équation différentielle proposée, ce qui n'aura lieu qu'accidentellement.

ÉQL'ATlOJiS LINÉ.URE3. 187