I. — Généralités

106. On nomme équations différentielles linéaires celles où les fonctions inconnues et leurs dérivées ne figurent qu'au premier degré.

Ces équations jouissent de plusieurs propriétés que nous allons exposer.

407. 1° Toute équation linéaire reste linéaire si Von change la variable indépendante.

Soit, en effet,

une semblable équation, /?o, P\, . . ., T désignant des fonctions connues de la variable indépendante t.

Posons ^ — çp(«), u désignant une nouvelle variable. On

en déduira

dx dx , , ,

Ta =Â^("^'

CL OC et OC ta., V ^^ Ou „ . ^

équations qui donnent -j-j —r-i ••• en fonction linéaire

l38 TROISIÈME PARTIi:. — CHAPITRE II.

(xoc cl^ oc de -y-) 7/~T' '■*■ Substituant ces valeurs, ainsi que celle

de ^, dans l'équation proposée, on obtiendra l'équation Irans-

formée, qui sera évidemment linéaire en ^, -7-5 -,—-,

^ ' du du-

108. i"" Soient x^ y^ ... n fonctions d'une même variable indépendante t, satisfaisant à un système de n équations linéaires

(î) E,=rO, ..., E,=rO,

et soit V un polynôme entier par rapport cl x^ y^ ... et à leurs dérivées successives, dont les divers termes aient pour coefficients des fonctions quelconques de t. La fonction V satisfera à une équation linéaire dont les coefficients s'expriment rationnellement en fonction des coefficients <fe E,, . . . , E/i, Y et de leurs dérivées successives.

En effet; soient respectivement m, m', . . . les ordres des plus hautes dérivées de x, y^ ... qui figurent dans les équations (i); k le degré du polynôme V. Formons les dérivées successives de V. Chacune d'elles sera im polynôme de degré k par rapport à x^ y, ... et à leurs dérivées suc-

cessives. D ailleurs les denvees —, — -, — ? ••-, , ' , ?

, ^j^,^^ -> ••• peuvent s'exprimer linéairement par les dérivées précédentes, au moyen des équations (i) et de celles qui s'en déduisent par dérivation.

Substituant ces valeurs, on aura pour V, -y-? •••j des expressions de la forme

T,, T2, . . . , T', , T2, . . . étant des fonctions de ^, de l'espèce

ÉQUATIONS LINÉAIRES. tSq

indiquée à l'énoncé, et P,, P2, - . . des produits de la forme

dt ) \dt"'-^ J -^ \dij \dt"''-

où le nombre total des facteurs est au plus égal à k. Soient P, , P2, ..., P/ les divers produits de ce genre que l'on peut former et dont le nombre est évidemment limité. L'élimination de ces quantités entre les expressions (2) donne une

dY d'Y

relation linéaire entre V, -j--> • • •? —7-7-*

109. 3° On sait que tout sj'stème d'équations différentielles simultanées peut être ramené, par l'adjonction de variables auxiliaires et la résolution par rapport aux dérivées des fonctions inconnues, à un système normal. Si les équations sont linéaires, il est clair que ces opérations laisseront subsister le caractère linéaire.

L'étude d'un système linéaire quelconque se ramène donc à celle d'un système linéaire normal de la forme

dx

__ -H«^ -i-bf -{-... =zT,

où a, b, . . . , a, , 6, , . . . , T, T, , ... sont des fonctions de t. Nous considérerons en premier lieu les systèmes dits sa/is second membre, où l'on a

110. Théorème. — Si a^i, j'i, ... ; 0^2, JK25 • • • î • • • sont des solutions particulières d' un système d'équations linéaires sans second membre, les expressions

OÙ Cj, Co, . - . sont des constantes arbitraires, satisferont au même système d'équations.

l/jo TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

En effet, le résultat de la substitution de ces expressions dans le premier membre de l'une quelconque des équations proposées sera évidemment de la forme