C1II1-+-G2H

II, désignant le résultat de la substitution de .r,, r,, ..-i Ho le résultat de la substitution de x^,yo, .... Mais .r,, Yi^ ... ; x-y, y-ii • ■ ''1 • • • étant des solutions, on aura

Hi = o, II, = 0, ..., d'où

111. Considérons spécialement un système canonique formé de n équations linéaires du premier ordre et sans second membre. Ce système admet la solution évidente x = o, j' = o, ...; mais il admet une inflnité d'autres solutions particulières.

Nous dirons que k solutions particulières d'un semblable système, telles que

•^1> fly -'l-> • • • >

^k, fk, -/o •

sont indépendantes, si l'un au moins des déterminants d'ordre k formés avec les diverses colonnes du Tableau cidessus n'est pas identiquement nul.

Théorème. — Si l'on connaît k solutions indépendantes d^un système de n équations linéaires du premier ordre et sans second membre {k étant <Cn)^ on pourra ramener Vintégration du système proposé à celle dUin système analogue ne contenant plus que n — k équations et à des quadratures.

Chaque solution de ce nouveau système fournira une solution du système primitif , indépendante de celles qui sont déjà connues.

ÉQUATIONS LINÉAIRES. l4l

Nous admettrons, pour fixer les idées, qu'on ait quatre

équations

I dx

' —r-{-ax -{- by -h cz -h du dt "^

dy

dt

+ «1 .r -H h^y -\- Cl 5 -H d^ a

da j j

. -- -^ a^x -^ b^y -^c^z -\- d-^u — o, \ at

et que l'on connaisse deux solutions indépendantes

•^2> JK25 ^2> '''2'

Admettons qu'on ait, par exemple, •^1 /i

On pourra poser

r =::Ci/i + C2/2,

a r= Cl «1 + G2 Ui 4- 'J,

Go Go, ^, u étant de nouvelles variables. Effectuant la substitution et remarquant que les termes en G,, Go s'annulent (car les équations proposées seraient satisfaites si Ç, u étaient nuls et Gi, G2 constants), il viendra

d\^i d\ji^ ^ ,

- ' X^-^- CL -h rf'j =: o.

dt

dC,

dt

dC,

~dt^'

dC, dt *

dt

dC^ y J

dO^ ~dt

dC^ ~dt

dt dj ~dt