CHAPITRE II
Résolvant par rapport aux dérivées -^ on aura un résultat de la forme
dC, dC. dX, d^J
dt
dt ' dt'
Bu,
dt du dt
-- A2S + B2U, — As^-I- B3U.
On obtiendra donc Ç et u en intégrant les deux équations linéaires simultanées (5); C) et C2 s'obtiendront ensuite par des quadratures.
Soient d'ailleurs Ç', \j' une solution particulière quelconque des équations (5) (autre que la solution évidente Çrrr o, U = o) ; ct supposous, pour fixcr les idées, que Ç' ne soit pas nul. Soient C\, G'^ les valeurs correspondantes de C< , Co. La solution
Cg^a»
~ 1 Yl ^•2 -t- S ,
Ih^
ii^ -+- u'
sera indépendante des deux solutions déjà connues ^i, y^, Z\, U\j', ^2? J2? ^2, it-,; carie déterminant
est différent de zéro.
^1 Ji •^2 J'2
112. Théorème. — Tout système de n équations linéaires du premier ordre et sans second membre admet n solutions particulières indépendantes ^i, r^ . . .; . . .;
.r^, Vn^ ... et sa solution la plus générale est la suivante
^ = Ci^i-4-.. .4- C,,^„, / = Gi7i-f-. . .-i-C„7„, ..., ou Cl , . . . , C« sont des constantes arbitraires.
La première partie de cette proposition résulte de ce que nous venons d'établir, que de l'existence de k solutions indépendantes (A* étant <C^n) résulte celle d'une nouvelle solution indépendante des précédentes.
Pour démontrer le second point, posons
(]<, . . ., C/i désignant de nouvelles variables. Effectuant la substitution et remarquant, comme au numéro précédent, que les termes en G<, . . . , G„ s'annulent, il viendra
dOxy dCn
Mais le déterminant des quantités ^i, r,, . . .; . . .; Xni y ni . • • est ^ o par hypothèse, les n solutions données étant indépendantes ; donc
dC, dC,,
et G,, . . . , G,i seront des constantes, d'ailleurs arbitraires. 113. Soient
È, rz= g; ^1 + . . . -+- c; ^„, 7)1 == g; 7i + ...-+- c; 7„,
^,=:Gï^i-f-...H-G;;^,„ ^n = G;^7i-t-... + G;^7„,
n solutions particulières quelconques du système proposé. Leur déterminant est évidemment égal au produit du déterminant des solutions ^4, 71, . . .; . . .; ^„, 7,^, . , . par le déterminant des constantes G'^, . . ., G^. La condition néces-
l44 TR0ISIÈ31E PARTIE. ■— CHAPITRE II.
saire et suffisante pour que ces solutions soient indépendantes est donc que ce dernier déterminant soit différent de zéro.
il4. Les coefficients des équations différentielles proposées peuvent aisément s'exprim.er au moyen d'un système quelconque de n solutions indépendant js, telles que Ç,,
"'it ? • • • j Ç/o '^1/" ....
Soit, en effet,
doc
-7- -^ ax -\-hy -\-. . .^^o
une de ces équations; on aura identiquement
et de ce système d'équations on déduira «, 6, ... exprimés par des quotients de déterminants.
115. A tout système d'équations linéaires sans second membre, tel que
cloc
—r- -h«^ -hày -\-cz =zo,
at
dy
-^ -+- «1^ -h b^y -4- Cl 5 3= o,
est associé un système adjoint défini par les équations
J — haX-h «1 Y + a^L^zi o,
dt
-^ -^bX-v-b,Y-\-b,Z^o, dt
j- -f- cX -h Cl Y -H CgZ =1 o.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l45
Les solutions de ces deux systèmes ont entre elles une liaison remarquable. Pour la mettre en évidence, ajoutons les équations précédentes, respectivement multipliées parX, Y, Z, — x^ — y^ — z. Il viendra, toute réduction faite,
,^ dx dX ,, dv dY ^ dz dl^
''-^Tt^''-dt^^tt-^^irt-^^-dt-^'^a
= ^^iX.-^Yy^Z.),
d'où
Xûo + Y/ -\-Zzz= const.
La liaison entre les deux systèmes adjoints est évidemment réciproque. L'intégration complète de l'un d'eux entraînera celle de l'autre. Supposons, en effet, que l'on connaisse trois solutions indépendantes J0^, y^, z^; Xo, y2') ^2 5 ^3, ^^3, ^3 du premier système. La solution générale X, Y^, Z du système adjoint sera donnée par les relations
Xa-.^Yy^-hZz.^zC^^ Xx,-l-Yy,-r-Zz,^C„
C), Co, G3 étant des constantes arbitraires.
Si l'on connaissait seulement une ou deux solutions indépendantes du premier système, on aurait seulement une relation linéaire
X^,H-Yri4-Z..r-C,
ou deux relations
X^,-hYj,4-Z..,--=:G„
X^aH-Yja-f- ZZ2 — C2.
Ces relations permettraient d'éliminer une ou deux des variables X, Y, Z des équations différentielles du système adjoint, et de ramener ainsi l'intégration de ce dernier système à celle d'un système plus simple, contenant une ou deux équations de moins.
J. — Cours, III. 10
l46 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
116. Systèmes cV équations linéaires à seconds membres. — Soit à intégrer un système d'équations linéaires à seconds membres, tel que le suivant :
\ dx . - ^
-j — \- ax + by H- cz -^ du = 1 ,
dy
~ H- «2-3^ + biy -\- c^z-A- d^ u =: T2,
du , I rr.
— -+- a^x-\- bsy -^ c^z-hd^u -- I3.
Considérons le système linéaire analogue
/ dx
dt
