Une équation linéaire d'ordre n

^-'-l'^-dF^-^--'-^P-^--=^

peut être remplacée parle système équivalent

dx

dt -^ =°'

dx'^-^- „ ,

dt '

qui rentre comme cas particulier dans ceux que nous venons de discuter. 11 convient, toutefois, d'effectuer l'étude directe de cette équation; car elle fera paraître sous un nouveau jour quelques-uns des résultats déjà obtenus.

119. Considérons d'abord Téquation sans second membre d'^x d'^-^ X

Soient x^^ ..., Xu des solutions particubères de cette équation. Nous dirons que ces solutions sont indépendantes,

si le déterminant

. . Xk

formé par ces fonctions et leurs k — i premières dérivées n'est pas identiquement nul.

Toute équation linéaire d'' ordre n sans second membre admet un système de n solutions indépendantes x^, . . . ,x,i, et sa solution générale est

C, ..., Qn étant des constantes arbitraires.

Pour établir ce théorème, nous supposerons qu'il soit vrai pour les équations d'ordre n — i et nous montrerons qu'il est encore vrai pour l'équation (8) d'ordre n.

Soit x^ une solution de cette équation (autre que la solution évidente ^r = o). Posons x = (^x^^ G désignant une nouvelle variable. On aura

dx ~dt

Qa' x^-\- Cx\

^ ^G'x,-^2C'x\ + Cx\ at^

— ^ 0'x,-V nC^-'x', 4- '''^'' '^ 0'-^x'[-h. . . -h Cx'!. at"- ^ 2 ^ ^

Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura l'équation transformée

1 ^iC"-l- nx[ : (9) i 4-/'i^i