y-L^l ... ocA yn

dt

Or chacun des deux facteurs qui composent ce produit est différent de zéro, par hypothèse.

120. Soient Xi^ . . ., jt^ le système de solutions indépendantes dont nous venons de démontrer l'existence, et

^1 = C'i ;ri M- . . . + C,^Xn,

Ç/,, — '- Cl'/ ^1 -h . . . -H Ci/i oc,i

un autre système de n solutions. Le déterminant

tn-l tn-

est évidemment égal au produit du déterminant des solutions j:, , . , . ^ Xn par celui des coefficients G.

Il est donc nécessaire et suffisant, pour que les solutions ^,, . . ., \,i soient indépendantes, que le déterminant des G ne soit pas nul.

S'il en est ainsi, x^, ..., Xnt et par suite toutes les solutions de 1 équation différentielle, seront des fonctions linéaires de

121. Soient d'ailleurs ^,, ^2? •.•t^// "n système quelconque de solutions indépendantes de l'équation (8); on aura

^-^P^-dï^-^'-'-^P'^^'^'^''^

l52 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

Ces équations permettront d'exprimer les coefficients /?, , ...,/>„ en fonction de i< , . • . , ?« et de leurs dérivées.