On peut remarquer que la condition

exprime la condition nécessaire et suffisante pour qu'il n'existe entre les fonctions x^, . . , , jc^ aucune relation linéaire à coefficients constants, telle que

ai^i-4-. . .-h a„^„— -o

En effet, s'il existait une relation de ce genre, on obtiendrait, en la différentiant,

ai^j

aj^'(

et, en éliminant les paramètres a:^, . . . , a/^, il viendrait

Réciproquement, si ce déterminant est nul, ^,, x^^ . . ., x,i seront n solutions particulières de l'équation linéaire d'ordre n — i

On aura donc, en désignant par Xi, . . ., X/,, des solutions indépendantes de cette équation, et par C'^, . . ., C/'J,

ÉQUATIONS LINÉAIRES. l53

des constantes,

^,.= GïXi + ... + G^,X„i.

Éliminant Xi, ..., ^n-t entre ces équations, on en déduira une relation linéaire entre Xi, . . ., :r,i'

123. Si l'on connaît k solutions indépendantes ^,, . . ., ^A de l'équation linéaire sans second membre

on pourra ramener son intégration à celle d'une équation linéaire d'ordre n — A-, suivie de k quadratures. Posons en effet

les G désignant k nouvelles variables, liées entre elles par les A" — I relations

On aura, en tenant compte de ces relations, *

luis

Yr désignant une fonction linéaire de G, , . . . , Ga et de leurs dérivées jusqu'à l'ordre r.

Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura un résultat de la forme

G désignant une fonction linéaire de Ci, . . ., G^ et de leurs dérivées jusqu'à l'ordre n — A- -f- i . D'ailleurs, l'équation étant satisfaite en supposant G,, ..., G^ constants, les termes qui contiennent ces quantités disparaîtront, et G ne

l54 TROISIÈME PARTIE. — CnAPITRE II.

contiendra que les dérivées G'^, ..., G'^ et leurs dérivées successives jusqu'à l'ordre n — k.

Gela posé, on peut tirer des équations (lo) les valeurs de G' , . . . , G'i- en fonction de G',. Substituant ces valeurs, ainsi

i^. cil iuin^tiuii «ac \jt ,

que leurs dérivées, dans G, on aura pour déterminer G', une équation linéaire d'ordre n — k.

Gette équation intégrée, on aura G',, . . ., G'^., et l'on en déduira G|, . . . , G^ par quadratures.

124. Supposons, par exemple, qu'on connaisse une solution particulière x^ de l'équation du second ordre

œ" H- pxx' -\- pi.x ^= o.

Posons ^ = G,.r, ; nous obtiendrons l'équation transformée

C'i JTi -h ( 2 J7'j -h /?i X-^ ) G'i =r O

OU