Revenons à l'équation sans second membre

Multiplions-la par une fonction indélerminée^' et intégrons. Il viendra, en appliquant aux termes qui contiennent les dérivées de X, l'intégration par parties

l56 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

Si la fonction j' est une solution de l'équation linéaire

Pintégrale disparaîtra de la formule précédente, et l'on aura, pour déterminer x, une équation linéaire d'ordre n — i, contenant une constante arbitraire.

Si l'on connaît k solutions jKj, . . . , jr^ de l'équation (i5), on obtiendra, en posant successivement j^ r=:j^^ , ...^y^=yj^^ k équations linéaires d'ordre n — i en .r. Eliminant entre ces équations les dérivées x'^'^ , • • • , ^"~^+^ , on aura, pour déterminer .r, une équation linéaire d'ordre n — A", contenant k constantes arbitraires.

L'équation (i5) se nomme V équation adjointe de l'équation (i4)- Il est clair que réciproquement l'équation (i4) est adjointe à l'équation (i 5).

127. On aurait pu arriver à l'équation adjointe (i5)en remplaçant l'équation primitive (i4) par le système d'équations du premier ordre

dt

dx"^-"'

dx 'dt

qui lui est équivalent.

Ce système a pour adjoint le suivant :

dt ~

dX^^

dt ~

ÉQUATIONS LINÉAIRES. l5j

On peut aisément éliminer X"~-, . . . , X entre ces équations. Il suffira de les différentier respectivement n — i fois, n — 2 fois, etc., et de retrancher la somme des équations de rang impair de celle des équations de rang pair; il viendra

'~~dF' 'dt^^ ^ ^^«-2 . . . — o,

équation qui ne diffère de (i5) que par la notation.