Soit
une autre opération analogue à F (^, 6,, . . ., b,n étant des constantes comme a^ a^. . . . , cin).
Effectuons successivement ces deux opérations; l'opération résultante sera
Cette expression est la même que l'on obtiendrait en multipliant les deux polynômes F et G comme si D représentait une quantité et non un symbole de dérivation. L'opération
l58 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
résultante sera donc indépendante de l'ordre des deux opérations F et G et pourra être représentée indifTéremment par FG ou par GF.
D'ailleurs, une opération quelconque de l'espèce considérée, effectuée sur une quantité identiquement nulle, donne lui résultat nul. Donc l'équation
o=:FG^r=GF.r
admet comme solutions celles des équations F^n-O, G^=:o.
130. Soient donc .s,, ^2, ... les racines de Véquatlon caractéristique
o — Fr=«D«+aiD'*-i + . . .+ a,„
jjL,, (jLo, ... leurs ordres de multiplicité. L'équation différentielle
admettra comme solutions celles des équations
(D — 5i){^..r =rO, (D — 52);^-^^==0,
Il est aisé de trouver ces dernières. Posons, en effet,
On
(D — s^)x -- .Çj e^^^y -\- e^\^ D/ — s^ e^^^y et en répétant cette opération
Pour que le second membre soit nul, il faut et il suffit quejv soit un polynôme arbitraire de degré jjli — i.
Réunissant les solutions particulières ainsi trouvées, on
ÉQUATIONS LINÉAIRES. loQ
voit que l'équation admet la solution
où P,, P21 ••• sont des polynômes arbitraires de degrés
p-t — I, lJ-2— I,
Cette solution contient jji, + uo H- . . . == /i constantes arbitraires. Ce sera donc la solution générale, si elle ne peut s'annuler que lorsque toutes ces constantes sont nulles. Nous allons prouver qu'il en est ainsi.
En effet, supposons qu'on ait
PieV4-P2e^.^-f-.. .==0.
Posons
On aura
o = H(Pie«.^-HP2eV4-...)— II(Pie^.^).
Mais on a, d'autre part,
Or les polynômes (D — Si)^i et H étant premiers entre eux, on pourra déterminer deux nouveaux polynômes M et N tels que l'on ait
M(D — 5i)!''4-NH=:i
et, par suite,
o =[M(D — 5,)!^.-i- NH](Pie-^.')= Pie'-'.
Donc P, doit être identiquement nul. De même pour les autres polynômes Po, ....
131. Si les coefficients «i, «2, . . . étant réels, l'équation caractéristique F = o a des racines imaginaires, la solution générale que nous venons d'obtenir renfermera des imaginaires; mais il est aisé de les faire disparaître.
Soient, en effet, 5< =:== a -h ^i, ^2 = a — (3? un couple de
l6o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
racines conjuguées, a leur ordre de multiplicité; nous aurons dans l'intégrale générale les deux termes
= Qie°''cosp/-4-Q2e°''sinp^, Qi, Q2 étant des polynômes de degré [x — 1, arbitraires comme l'étaient P^ et P2.
132. Connaissant, par ce qui précède, l'intégrale de l'équation sans second membre
(1) Fj:=:0,
on obtiendra par des quadratures celle de l'équation à second membre
On sera, d'ailleurs, dispensé de ces quadratures si l'on peut déterminer une solution particulière de cette dernière équation.
Ce cas se présentera si T est un polynôme entier en ^, e*^ e?^, . . . , siny^, cosyi, .... Car en remplaçant les sinus et cosinus par des exponentielles, T sera une somme de termes de la forme
s désignant une constante et II un polynôme, dont nous désignerons le degré par À.
Nous aurons donc à chercher une solution particulière de l'équation
(3) F^=:ne^^
Les solutions de cette équation satisfont à l'équation
(4) (D — 5)>^+' F^ = (D — 5)^^' ne-^'-T-o qui n'a plus de second membre.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l6l
Deux cas seront à distinguer ici :
1" Si s diffère de Si, 50, . • -, l'équation (/f) a pour intégrale générale
où P est un polynôme de degré A.
Supprimant les termes qui appartiennent à l'intégrale de F^ 1= o, on voit que l'équation (3) doit admettre une intégrale particulière de la forme Pe^^.
2'' Si s = Si, l'intégrale générale de (4) sera
P'^ étant un poljnôme de degré a, + À.
Supprimant encore les termes qui appartiennent à l'intégrale de F^ =: o, on voit que l'équation (3) admet une inlégrale particulière de la forme /H-iPe-^/, où P désigne encore un polynôme de degré X.
J^a forme de la solution particulière étant assignée dans chaque cas, il restera à déterminer les coefficienls du polynôme P. Pour cela on substituera Pe'^^(ou /t'iPe^i'^) à la place de X dans l'équation (3); l'idenlification des deux membres donnera un système d'équations linéaires pour calculer les coelficients inconnus.
133. Exemple. — Soit à intégrer l'équation ( 0 ) --- 4- m^ ^ = ces ni.
Considérons d'abord l'équation sans second membre
-j-^ -f- ru'X =;(D-4- j)i ):r = o.
Son équation caractéristique
D^H-m^rrrO
admet les deux, racines simples ziz mi. Elle aura donc pour J. — Cours, III- Il
l62 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
intégrale générale
Ccos/?i^-+- Cl sinm^,
où G, G, sont des constantes arbitraires (des polynômes de degré zéro).
Revenons à l'équation à second membre (5)
(D- 4- m- ) X =: CCS nt.
On en déduit
(6) (D2H-/i2)(D2+m2)^ = (D2-4-/i2)cos/i^ = o,
i" Si n-^m-j cette dernière équation aura pour intégrale générale
Acos/i^ 4- Al s'innx -\- G cosm.r h- Ci sinmcr,
où A, A,, C, G< sont des constantes arbitraires. L'équation (5) a donc une intégrale particulière de la forme
A cosnx + Al ?>\xinx.
Substituons cette expression dans (5), il viendra
( — /i--t- T7i^){\. cosnx H- Al s'innx)zzz cosnx, d'où
A =1^ — ^ 5 Al = o.
L'intégrale générale de (5) sera donc
C cosmx -f- C, sinm^ H -:
m* — rf
2*^ Si n-= m'-j les équations (5) et (6) deviennent (5)' (D2+/?l2) ^'r=rcosm^,
(6)' {D''-\-7Jl'-y'X=zO.
Gette dernière a pour intégrale générale
(C -f- A^) cosmt + (Ci4- Ai^) sinm^ et (5)' admettra une intégrale particulière de la forme ^(A cosmt -+- Al sin/7i^).
Celle expression, subslituée dans (5)'^ donne 2m ( — A sin mt -\~ Aj cosm^) = cos mt,
d'où
o, Al
L'inlégrale générale de (5)' sera donc
C cosm^ + Cl sinm^ 4-
134. Considérons un système d'équalions linéaires à coefficienls constants et sans seconds membres. Nous supposerons, pour fixer les idées, que ces équations soient au nombre de trois. Elles seront de la forme
(7) Li^ + M,j)- + ]Ni^ = o,
l Lg^ + Mgj)' -f- Na^ — o.
L, M, ... désignant des facteurs symboliques tels que
Soit
