Soit A le déterminant

L iM N L, Ml N, U M, N,

l m II /i ni^ /Il

Soient

ses mineurs; o leur plus grand commun diviseur.

Multiplions la première équation (7) par^^la seconde

par ^ j la troisième par -. et ajoutons^ il vient

L/+ L,/, ^-Ls/., M/-{- Ml/, -I- ^2^2

N/+Ni/,+ N,/2

ou, d'après les propriétés des mineurs,

On trouvera de même

ÉQUATIONS LINÉAIRES. l65

Donc .v^y, z satisfont à l'équation difTérenlielle unique

dont nous savons déterminer l'intégrale générale. On aura donc, en désignant par .9,, s.,, ... les racines de l'équation caractéristique, par jji,, tJio, • • . leurs ordres de multiplicité^

lf;-i--f- 1-2'

P,, Qi, R, étart des polynômes de degré p-i — i; Po, Qa? ^2 des polynômes de degré [J-o — 1 7 • • •

Substituons ces valeurs dans les premiers membres deséquctions (7) et identifions le résultat à zéro. Nous obtiendrons un certain nombre de relations linéaires entre les coefficienls de ces polynômes, et la solution contiendra autant de constantes arbitraires qu'il restera de coefficients indéterminés.

136. Si les équations proposées avaient des seconds membres de la forme

n, Ui étant des polynômes de degré ^}^, on les ferait disparaître en multipliant les équations données par le facteur symbolique

et l'on serait ramené au problème précédent.

Cette analyse sommaire suffit pour obtenir la solution générale, sauf le cas où A est identiquement nul. Mais pour traiter ce cas exceptionnel, et aussi pour déterminer a priori dans le cas général le nombre des constantes arbitraires, il nous faut serrer la question de plus près.

137. Nous considérerons le système proposé comme d'autant plus simple que le degré minimum de ceux des coefficients L, . . . , N2 qui ne sont pas identiquement nuls sera plus petit. Ceci admis, proposons-nous de simplifier progrès-

l66 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

sivement le système par les opérations indiquées ci-dessiis (addition de lignes ou de colonnes).

Soit, pour fixer les idées, Mj le cocfLcient de degré minimum dans le Tableau

Li Ml Ni

I^i visant M par Mi

, on pourra écrire

M = XM,-f-R,

R étant de degré moindre que M, si M^ ne divise pas M et pouvant être pris égal à M^ si M, divise M. Dans le premier cas, le système

M-XM,

N-XN,

Ni

sera plus simple que le proposé. Dans le cas contraire, il aura deux coefficients égaux à la seconde colonne.

On pourra de même, ou simplifier le système, ou le remplacer par un autre, où i\J2 soit remplacé par M,. On obtiendra ainsi un système de la forme

Si l'un des coefficients U, N', L, , N, , Lo, N'a n'est pas divisible par M,, on pourra simplifier le système (par des additions de colonnes). Sinon on pourra rendre V et N' égaux à M,. Nous sommes ainsi parvenu à un système où tous les coefficients sont des multiples du premier.

Soit généralement

A AiA A2A