RA R^A R2A
Ga GjA C2A,
un semblable système. Par des soustractions de lignes, puis de colonnes, on pourra faire disparaître les coefficients de la première ligne et de la première colonne, sauf le premier, et l'on obtiendra un système de la forme
Si B',, B'^, C'^ , G'^ ne sont pas nuls à la fois, on pourra de même remplacer le Tableau partiel
C'j A Gg A
par un autre, oi^i le premier coefficient sera un multiple de A, tel que AA,; le second et le troisième seront nuls, et le dernier sera un multiple de AA,tel que A Ai A2.
Le Tableau est ainsi ramené à la forme canonique
o AA| o o o AAjAg.
Une partie des transformations que nous avons fait subir au Tableau sont dues à des changements de variables. Soient ^, T,, Ç les dernières variables indépendantes adoptées. Elles seront définies indépendamment les unes des autres par les équations linéaires
(8) A^ = o AAiTf]=o, AAïAjC^o.
[jC nombre des constantes arbitraires sera égal à la somme des degrés des polynômes A, AA, , AA, A2 ou au degré de leur produit. Or ce produit est égal à A, car les additions de lignes ou de colonnes ne changent pas le déterminant.
On voit aisément qu'elles laissent également inaltérés : i" le plus grand commun diviseur 0, des mineurs du premier
l68 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
ordre, le plus grand commun diviseur Oo des mineurs du second ordre, etc. Or. sur la forme rédi ite du Tableau, on a
Ces équations permeltraient de déterminer a priori A*, A,, A 2 à l'inspection du Tableau primitif.
138. Si le premier coefficient A se réduit à une constante, la première équation (8 , ne sera plus une équation difTérentielie. mais donnera ; — o. Si A, se réduit aussi à une constante, on aura de même r, = o, etc.
Enfin, si A est nul. un ou plusieurs coefficients A, A,, A^ seront nuls. Soit par exemple Ao^o. Les deux premières équations (8) détermineront encore ;, r, ; mais la dernière devenant identique, la foncticn "Ç restera arbitra rj.
139. On peut ramener aux équations à coefficients constants les équations linéaires de la forme
^^n "IV- . r/ ^^.
Posons
en effet
on aura
dr
dt
dx du
d}x dC-
dx "^-di
du
d'où -x dl ---z c'' du \
( dx d*x\
et, en général,
In
p. désirant une fonction linéaire à coefficients constants
ÉQUATIONS LISÉAinES.
de ^. ..., ^ En effet, si cette proposition est établie
du da^
pour le Dombre k, elle sera encore vraie pour A- -f- 1 ; car on
aura
^t-r-lg-«/ Ae-Al
^^i.ie-.A-HD.p^.^^
.—km 1
Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura pour déterminer x en fonction de ii une équation linéaire à coefficients constants.
Si l'équation caractéristique correspondante a ses racines inégales, l'intégrale générale sera de la forme
S'il V a des racines multiples, à chacune d'elles. 5,, correspondra comme solution une expression de la torme
