Considérons une équation linéaire sans second

membre

d'^.r df^-Kr

dont les coefficients soient uniformes en t et n'aient que des points critiques isolés.

Nous avons vu (119) que la forme générale de ses intégrales est la suivante

CyX^~. . . — C„^,,

OÙ C|, . . .y c„ sont des constantes, et x, r„ un svs-

lème quelconque de n intégrales indépendantes. Nous savor.s

170 TROISIÈME PARTIK. — ClIAPITRK If.

ea outre (92) que ces intégrales n'ont pas d'autres points critiques que ceux des fonctions yi>,, , . . , p,}.

Cherchons comment se comportent ces intégrales lorsque la variable indépendante t tourne autour d'un de ces points critiques, que, pour plus de simplicité, nous supposerons situé à l'origine des coordonnées.

L'intégrale considérée x varie avec ^, mais sans cesser de satisfaire à l'équation différentielle. Lorsque t revient à sa valeur initiale, p\, - . ■ , Pn reprenant également leurs valeurs initiales, l'équation différentielle redevient ce qu'elle était primitivement; et l'intégrale transformée, devant satisfaire à celte équation, sera de la forme

Cl ^1 -f- . . .H- CiiX ,1.

En particulier, soit xi l'une quelconque des intégrales indépendantes x^^ , . .^ Xn\ elle sera transformée en une expression de la forme

C/i X^ -h • . . -\- Cin X n^

de telle sorte que la rotation de t autour de l'origine aura pour résultat de faire subir aux intégrales x<^^ . .., Xn une substitution linéaire telle que

Le déterminant des coefficients c sera d'ailleurs différent de zéro ; car, s'il était nul, les intégrales transformées seraient liées par une relation linéaire, qui continuerait d'avoir lieu en faisant rétrograder t en sens contraire de son mouvement primitif. La même relation subsisterait donc entre les intégrales primitives Xi, ..., x,,, contrairement à l'hvpothèse faite, que ces intégrales sont indépendantes.