Soit

ÉQUATIONS LINÉAIHES. I7I

un autre système quelconque d'intégrales indépendantes. La substitution S, opérée sur les x^ remplacera les jk par d'autres fonctions linéaires des x^ ou, comme les x s'expriment linéairement au moyen des jr, par des fonctions linéaires desj^^

La rotation autour de l'origine aura donc également pour effet de faire subir aux y une substitution linéaire. Nous pouvons nous proposer de profiter de l'indétermination des coefficients a pour simplifier le plus possible l'expression de cette substitution.

Cherchons tout d'abord s'il existe quelque intégrale

qui se reproduise multipliée par un facteur constant .v. Il faut pour cela qu'on ait

ai(cH^i4-. . .4- C^,iXn) 4-. . .4- ««(Crti^i-h. . • "h C,,„ ^„ ) = 5 ( ai ^î H- , . . + a„ x,.^ ) :

d'oii les équations de condition

(Cu — 5) a, H- c.ia,-^. . . + C„ja„-=0,

Les coefficients a,, . . . , a,; ne pouvant être nuls à la fois, il faudra que le déterminant caractéristique

Cin

s'annule.

Supposons d'abord que l'équation A = o ait n racines inégales s^, ..., s,i. Soit si l'une d'elles. En la substituant dans les équations (i) elles deviendront compatibles et détermineront les rapports des coefficients a. Il existera donc

unefonction j'i qui se reproduira multipliée par .ç/. D'ailleurs les /z fonctions j)'4, . . . , j^„ ainsi obtenues sont indépendantes; car, si elles étaient liées par une relation

la même relation devant subsister constamment entre leurs transformées, on aurait, en faisant faire n — i révolutions successives autour de l'origine à la variable tj

Ci s"C'y 4- . . . -f- CnSl \rn --- o, équations rncompatibles, car le déterminant

n'est pas nul, .9i, .Ço» •••, Sji étant inégaux; et, d'autre part, les intégrales c^y^, .. ., c,iy,i ne peuvent être toutes nulles. Donc, en clioisissant j),, ..., r,t comme système d'intégrales indépendantes, la substitution S prendra la for/)ie très simple

J'i ^ifi

142. Si nous avions choisi un au Ire système quelconque d'intégrales indépendantes, tel que :;,, ..., z,i, la substitution S aurait pris une forme telle que

j)',, . . . , j',, deviendraient des fonctions linéaires de s,, . . . , z-,j lesquelles se reproduisent respectivement multipliées pai

Ces miillîpHcateurs devront satisfaire à l'équation

dv.

dui

d,n dm

^hi n

Cette équation doit donc être identique à l'équation A = o, qui a les mêmes racines. On voit donc que les coefficients de l'équation en s ne dépendant pas du choix des intégrales indépendantes : ce sont des iavarianls.

443. Les résultats sont un peu plus compliqués lorsque l'équation en s a des racines égales. Nous allons établir la proposition suivante :

On peut toujours trouver un système d'intégrales indépendantes formant une ou plusieurs séries y^, ..., y ni'-, y\, ..., y'j^^'\ ... telles que S remplace les intégrales d^une même série, y ^^ . . . , y^,, . . . , y m respectivement par

ly^

^ si{y

uir

I, Si étant une

racine de l'équation caractéristique.

Ce théorème étant supposé établi pour les substitutions à moins de n variables, nous allons démontrer qu'il subsiste pour une substitution S à « variables.

Soit 5, une des racines de l'équation caractéristique. Il existe une intégrale y que S multiplie par s^. En la prenant pour intégrale indépendante à la place d'une des intégrales primitives x^^ S prendra la forme

sxy, X2-i-}.2.rj

Xo, ..., X„ étant des fonctions linéaires de x^, .. -, x,i^ et aura pour déterminant caractéristique

A' désignant le déterminant caractéristique de la substitution

Nous pourrons par hypothèse changer de variables, de manière à mettre S' sous la forme

r'i, • • • . 7m' Si,f\ , . . . . Si. ( j',„' H- j;„, j )

où .ç/, 5/', . . . sont des racines de ^' =::: o.

Ce même changement de variables, opéré sur S, la réduira à la forme

Yx , . ■ . , y m ■'^i .>'i 4- X, 7, • . . , 5/ ( y m -H /,« -I ) ^ >m y

Ji ' • • • ' 7//^' •^r7'i +■ X', j, . . . , Si\y,„> -f- j';„' , ) -I- V,„-y

Changeons de variables en posant

yk + aA-7 = ^k' s remplacera Y , , . . . , Y^, . . . par

^iYx + >m7+ «i^i7 — <^/Yi-h !J.i7,

Si{yk-\- X/t-i) + >>/t7 + ='A-^i7 = ^?/(Y^--H Y^.,) -H [x;,7.

en posant, pour abréger,

Xi 4- ai(5i — 5,) = ;x,, . , ■ ;

La substitution S aura donc conservé sa forme générale," mais on peut disposer des indéterminées a,, . . ., a/f, . . . de manière à annuler tous les coefficients [x si 5|^5/, tous ces coefficients, sauf le premier {ji,, si 5| = si.

Nous pourrons faire disparaître de même les coefficients V (sauf le premier, si 5^7 ==r 5,).

Nous pouvons ainsi ramener S à une forme telle que la

Sr^-.

s^Li

144. Supposons que, parmi les coefficients |ji, , tji', , ... que contient encore cette expression, il en existe au moins deux p-i et ]s.\ qui ne soient pas nuls, et soit, pour fixer les idées, m'^m. Prenons pour intégrales indépendantes, à la place

de Y', , . . ., Y^.j., les suivantes :

S remplacera évidemment U, , . . ., U^, . • . par