iUi, .. ., 5,(U/,-hUA.i)j
de telle sorte que le terme [jl, jk aura disparu.
On pourra ainsi faire disparaître tous les termes en y\, sauf un seul, tel que \t^\y.
Supposons donc que [J^, , • . • soient nuls. Si [i-i<o, on n'aura qu'à poser
v-^y — Si^o
pour ramener S à la forme canonique clierchée
Ïq, 11, . . .
Z], Zj,
Si [X, était nul, S aurait déjà [la forme demandée, la première série de variables étant formée de la seule variable y.
145. La substitution S étant ramenée à la forme canonique que nous venons d'indiquer, soient yo^y^, •••jJ^a une des séries formées par les nouvelles intégrales auxquelles elle est rapportée ; s la racine correspondante de l'équation A =: o.
Proposons-nous de déterminer la forme générale de ces intégrales.
PosonS; pour abréger, — .log5 = /' et faisons
les z étant de nouvelles inconnuesS. Lorsqu'on tourne autour de l'origine, t^ se reproduit multiplié par e-^'''::^^^; donc les z devront subir l'altération suivante :
Pour trouver la forme générale des fonctions qui jouissent de cette propriété, nous remarquerons que la fonction
.\o2:t s'accroît de l'unité par une rotation autour de l'ori-
gine. Si donc nous posons
cette rotation changera 0| en 8, -f- i et, plus généralement, 0(
en
=:0/,-hO..,.
Posons maintenant
Zq ^^05
z;,zzz 0/, Uq -\- 0/;i iii 4- . . . -I- ^^',; , Uq, Ui^ . . . , u/( étant de nouvelles fonctions. Pour que Zq, .
fiQUATIONS LINÉAIRES. I77
Zj^ subissent la transformation demandée par une rotation autour de l'origine, il sera nécessaire et suffisant que Uq^ . . ., {//( restent invariables.
On obtiendra donc, en remplaçant les fonctions 8,, . . ., 0/^ par leurs valeurs en t, pour les intégrales cherchées yo, . . -, >7,, des expressions de la forme
r^ =r(Milog.' + N,),
y„ = r(IVUJog^-7 -i- N/,log^'-' ^ +. . .),
JMo, Mo ..., N,, ... étant des fonctions monodromes aux environs de l'origine. Ces fonctions s'expriment, d'ailleurs, linéairement au moyen des k + i fonctions distinctes Uq^ . Uh' En particulier, les fonctions Mo, M<, . .., M^ de la p mière colonne ne diffèrent que par des facteurs constants.
146. Les fonctions monodromes Mq, M4,*-N^, ... seront développables en série suivant les puissances positives et négatives de t. Si la série des puissances négatives est limitée pour toutes les fonctions qui figurent dans une des intégrales ci-dessus, cette intégrale sera dite régulière aux environs du point ^ = o.
11 est intéressant de reconnaître dans quel cas l'équation proposée admet un système d'intégrales indépendantes toutes régulières. M. Fuclis a établi à cet égard le théorème suivant :
Pour que V équation
admette n intégrales indépendantes régulières aux environs du point t = o, il faut et il suffit que, pour chacun des coefficients de Inéquation, tel que pi, le point t ^== o soit un point ordinaire, ou un pôle dont V ordre de multiplicité ne surpasse pas i.
J. — Cours, 111. 12
