V- dx -h ^ dy =: o

dx dy

Cette équation devant être équivalente à l'équation primitive (i), les coefficients de dx et de dy doivent être proportionnels; d'où la relation

Donc '^1 est une intégrale de l'équation (3).

Cette intégrale une fois connue, on pourra en déduire toutes les autres. Soit, en eflet, cp une autre intégrale quelconque; des deux équations (3) et (4) on déduit

dx dy

dœ dy \

équation qui exprime que cp est une fonction, d'ailleurs arbitraire, de cp^.

14. Quant au multiplicateur jjl, il doit satisfaire à la condi-

tion d'intégrabilité

ÔJ^

et réciproquement, toute solution de cette équation donnera un multiplicateur.

Connaissant un multiplicateur [x et l'intégrale cp correspondante, on en déduira aisément tous les autres. Soit, en effet, |jl'= |jiv un autre multiplicateur; on aura

ÔJ^- dy

/dix dixX\ /(h ^d^\

Donc V sera une intégrale de l'équation (3), et l'on aura V = F((p), F désignant une fonction arbitraire.