Si, dans le premier membre de l'équation différentielle

dy — X.dxz=i o,

noub remplaçons œ et j par x ^ i\, y -\- r/i, £ désignant un paramètre infiniment petit et i, 'f\ des fonctions de x et de j,

nous obtiendrons l'équalion transformée

-^ dx dy '^

— X 4- e^ -c h £TQ \-...\[dx-^t-^dx-ht^-dy] — o

\ ox ôy j \ ox ay " /

ou, en développant et négligeant le carré de s,

Si cette équation transformée reproduit à un facteur près l'équation primitive, nous dirons que cette dernière admet la transformation infinitésimale Ç, r^.

Cette condition est exprimée par la relation

^ A + ^ 1- + ^i 1- :^ ~Xi ~~X — 1 :- o.

ox ox ()y dx \dy ôy

Posons cette équation se réduira à

^ dy âx ôy ^ \dx '^ ôy

Cette relation montre que, lorsque z n'est pas nul, son in-

verse - = ^^-^ est un multiplicateur.

^ rj — X ç ^

On voit donc que la recherche des multiplicateurs et celle des transformations infinitésimales de Téquation différentielle en elle-même ne constituent au fond qu'un seul et même problème.