J II
ons régulières, telles que
D'ailleurs, lorsque t tourne autour de l'origine, jKi , • • .,JK« subissant une substitution linéaire, leurs dérivées d'un ordre quelconque subissant la même substitution, les coefficients, qui sont des déterminants formés avec ces quantités, se reproduiront multipliés par le déterminant 8 de la substitution.
Or, pour qu'une expression de la forme (2) jouisse de cette propriété, il faut manifestement que les logarithmes disparaissent et que les exposants /-, /•, , . . ne diffèrent de la
quantité :loo^8-- 3 que de nombres entiers. Les coeffi-
cients de l'équation seront donc de la forme ^PP, P étant une fonction de la même espèce que M, M,, . . ., c'est-à-dire ayant un point ordinaire ou un pôle au point ^ = o.
Si maintenant nous divisons l'équation par le coefficient
de la plus haute dérivée, t^ disparaîtra et il viendra
-^Pn~0,
les coefficients /?i, • - -, pn étant des quotients de fonctions pour lesquelles ^ :^ o est un point ordinaire ou un pôle, et jouissant évidemment de la même propriété.
Il reste à montrer que l'ordre de multiplicité du pôle ^ :=^ o pour le coefficient/?/ ne peut surpasser i.
iAl. Posons à cet effet
5 étant une nouvelle variable et T une fonction de t qui soit de la forme
(3) T — ct^-hc^t^'-^-i-....
Nous obtiendrons une équation transformée
d"^ dt"
dt"-
\ OU, en divisant par T, T'
d^ ~dF
Si l'équation primitive a ses intégrales régulières, il en sera de même de cette nouvelle équation, dont les intégrales s'obtiennent en multipliant les précédentes par l'expression régulière
Lr=.t-^{d-^d,t-\-...).
D'autre part, ^ = o étant un pôle d'ordre i pour 7^
l8o TROISIÈME PAKTIE. — CHAPITRE M.
(l'ordre 2 pour 7^? •••> on voit que, si ce point est un pôle
d'ordre k au plus par rapport à chaque coefficient p^ de l'équation primitive, la même propriété subsistera pour l'équation transformée.
Réciproquement, si l'équation transformée jouit de cette propriété, l'équation primitive, qui s'en déduit par la substitution
la possédera également.
Il suffira donc, pour établir le théorème pour l'équation primitive, de le démontrer pour l'équation transformée.
Cela posé, il résulte de l'analyse du n° 145 que l'équation en X admet nécessairement au moins une intégrale j>'o = ^''M^ dépourvue de logarithmes. Cette intégrale étant régulière, par hypothèse, sera de la forme (3). En la prenant pour T, la transformée en ^, admettant comme intégrale la constante i , ne contiendra pas de terme en ^ et se réduira à la forme
Posant -,- = i', on aura l'équation d'ordre ii — i
dont les intégrales, étant les dérivées de celles delà précédente, seront encore régulières. Si donc le théorème est supposé vrai pour les équations d'ordre n — i, t^=o sera un pôle d'ordre k au plus pour q^. Le théorème sera donc vrai pour l'équation en ^ et pour l'équation primitive en x.
Il suffit donc d'établir le théorème pour les équations du premier ordre. Or so>t
dx
ÉQUATIONS LINÉAIRES. iSl
une semblable équation ^ si elle admet une intégrale régulière, elle sera de la forme
T — ct'^-^c^t
Or, si ^ = o est pour/?i un pôle dont l'ordre \l de multiplicité soit >> 1, de telle sorte qu'on ait
et qu'on substitue pour j: une valeur de la forme T, le résultai de la substitution contiendra un terme act~^''^^ de degré moindre que tous les autres et qui ne pourra se réduire avec eux^ donc il ne pourra pas exister d'intégrale régulière.
148. Réciproquement, nous allons établir que toute équation différentielle qui satisfait aux conditions énoncées a n intégrales régulières.
Multiplions l'équation par t'^ ; il viendra
dt"-
Pit.t'
d"-^.T dt"-^
d"-^x dt"-'"-
L'origine étant, par hypothèse, un point ordinaire pour les fonctions/?! /,/?2^", •••, on pourra écrire
Soit p, un rayon de convergence commun à ces séries; OB aura
M désignant une constante.
Si nous substituons dans le premier membre de l'équation proposée la valeur œ = r, nous obtiendrons le résultat suivant
i82 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
en posani, pour abréger,
-+- ^ /•(/•- i)... (/■— /iH- 3)4-...= F(r), (fmr{r — i). ..(/• /i 4- 2)
