r — !)...(/• — /i 4-3)4-... — cp
En substituant la valeur
^ = Flog^^ =:—/'•,
on obtiendrait évidemment comme résultat
-— -^'•log>^-^^4-...-h ^-T^''-
Nous nommerons équation déterminante l'équation de
degré n
Groupons ses racines en séries, en réunissant ensemble toutes celles dont la différence est nulle ou égale à un entier réel. Nous allons démontrer qu'à chaque série contenant m racines correspondent m intégrales régulières de l'équation.
149. Admettons, pour fixer les idées, que nous ayons une série contenant quatre racines, dont deux égales à a et deux égales à a -f- «', i désignant un entier positif. Nous allons obtenir une intégrale régulière de la forme suivante
-i-V r^^[j(cj^-i-c;,iog^4-...-f-c'^iog^0.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l83
dans laquelle quatre des coefficients c resteront arbitraires, ce qui donne bien quatre intégrales particulières distinctes.
Substituons en effet la valeur précédente dans l'équation proposée, et égalons à zéro les coefficients des termes en
ty-^-\^\o^U, ^^^f^logn, ^^+H'log^, ^^+{^;
F (a-Hlx)c:i-f-'f,(a + ;ji-i)cJ
F ( a -f- |j. ) Cj^-^ cpi ( a -1- u — [ ) c'JjL
-i- 3 [ F' ( a -f ■ lA ) cjl-h 'f 1 ( a -1- |J- — I ) c'J.
F (aH-;j.)c[j,-|-cpi(a4- [J.— i)<^lJ.-
-H2 [F'(a4- !j.)c;i-i-cp'i('/ + [x — i)c'j^
-• - 3 [ F"( a H- ;j. ) Ca H- o''j ( a -h |J. — i ) C'jl
F (a4-[J.)C;j.-f-cp,(a + |x — i)Cj;,
F'''(a-+-;x)4:-t-cf";(a +
-■h cDo ( a -i- |j. — 2 ) c5j,2-f- -Hcp2(a-^ [J.— 2)c'j^2^- ^-©'2(a -+-[J.— 2)Cp,2-h -h cp.2 ( a + a — 2 ) c'jjL 2-T-
■ cp'^ ( a 4- ;J- — 2 ) 6'îl,H-
■ (p.2(a-t- ;j. — 2)Ca 2 + cp2(a + tj.— 2)cJ,.2 4-
Cp2 ( a + [J. — 2 ) C;I 2 +
Dans les deux premières équations, on aura à donner à p. toutes les valeurs de i k œ , dans les deux dernières toutes les valeurs de o à 00 ; d'ailleurs les séries qui forment les premiers membres se limiteront d'elles-mêmes, ceux des coefficients c'\ c'" dont l'indice serait < i et ceux des coefficients c, c' dont l'indice serait -< o étant identiquement nuls.
Pour toute valeur de [a supérieure à /, F(a + ^) étant ^ o^ ces équations donneront c'^, c'm, c'„, c^ en fonction des coefficients d'indice moindre. Pour [jl = t les deux premières équations deviennent identiques, car elles se réduisent à
Oc'; — o,
et a + / étant racine double de l'équation déterminante, F(a-(-/) et F'(a 4- /) s'annulent; mais F''(a -|- «) étant ^o, les deux dernières équations détermineront cj, c"^.
l84 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Si /> [J(. !> o, il ne reste plus que deux équations qui déterminent c' Ca en fonction des coefficients précédents. Enfin, pour [jl^o, ces équations deviennent identiques. La détermination des coefficients peut donc toujours se faire, et il en reste quatre arbitraires, à savoir c^, C/, cj,, Cq.
150. Il reste toutefois à prouver la convergence de la série obtenue. Pour l'établir, nous remarquerons que F(a-f- ik) étant un poljnôme en ^ d'ordre n les valeurs de c"^, . . . , Ca en fonction des coefficients précédents fournies par les équations (5), lorsque ut.^ i, seront delà forme
<^^, i[PoA-V?A(«+!^->0
+ Pl/,v'-?l (x-]-ix-l)~\-...-h P3A-v?x(^ + [J. — >0]CEi-A (A r- I, 2, . . ., ;J., V — o, I, 2, 3),
PoAv) ' ' ", Psv/f étant des fonctions rationnelles en [i., dont le dénominateur est d'un degré au moins égal à celui du numérateur (et dont quelques-unes sont nulles).
Nous obtiendrons évidemment une limite supérieure du module des coefficients cherchés en remplaçant les fonctions P, z>i(oL + u. — X), etc., et enfin les coefficients cj^x par des limites supérieures de leurs modules.
Or les fonctions P tendant pour u = oo vers des limites déterminées, leurs modules seront constamment inférieurs à une quantité fixe Oj.
Nous obtiendrons, d'autre part, une limite supérieure du module de Texpression
— ai{oi -^ [x — 1) {oi -^ [x — X — ]) . . . (y. -\- [x — l - n -^- 2) -h bi{(x ^ [x — l) {oL -i- IX — l — i) . . . {y. -h IX — l — n -h ^)
en remplaçant ai, bi, . . . par la limite supérieure de leurs modules -r- et les facteurs a -|- u. — a, ... par | a ! + a -f- /i.
On trouvera ainsi
I ox(a + |x - X)|^ -^ [(i a I + (i. 4- /O-
82 désignant une quantité limitée.
Le môme procédé donnera
(ia|4- [X -f /O''""'^
et, par suite,
pX
,, 'i— 2= n ii«— 1
l,v [xp
Xl^(x-).I,
Q désignant une quantité fixe.
Cette formule n'est établie que pour les coefficients dont l'indice inférieur surpasse i; mais, les précédents étant en nombre limité, on pourra toujours prendre 0 assez grand pour qu'elle soit encore satisfaite pour ceux-ci.
Faisons successivement A" =:= o, 1,2, 3, ajoutons et multiplions par pH-; enfin posons, pour abréger,
p^(k[xl -+- 1 4 1 + ^?- 1 + 1 ^[^ I) = ^^[xî
il viendra
[X Jl^i [X ^Mq
et, en changeant [a en [a + i ,
l86 TROISIÈME PAllTIl-:. — CHAPITRE II.
et, en continuant ainsi,
ch.
En posant m i= oo , la série entre parenthèses est convergente, pourvu qu'on ait pris [JL ^ 4^) les quantités <^oi <^o •••5 t/|j., . . . sont donc toutes inférieures à une limite finie N. A fortiori, chacune des quantités
restera << N; donc la série (4) sera convergente dans un cercle de rayon p.
loi. Si la valeur de c'I déduite des équations (5) s'annule (il faut pour cela qu'un certain déterminant, qu'il serait facile d'écrire, soit égal à zéro), tous les coefficients d" ^ qui s'expriment linéairement en fonction de celui-là, s'annuleront également, de sorte que tous les termes en log^^ disparaîtront de l'expression (4).
Si l'on a en outre c'^. = 0, les termes en log^/ disparaîtront aussi; mais, c'^ et c\ étant arbitraires, il restera toujours des termes en log^.
Pour que les logarithmes pussent disparaître entièrement de l'intégrale, il serait évidemment nécessaire que la série de racines que nous avons considérée ne contînt que des racines simples.
Remarquons enfin qu'il peut se faire que les racines de l'équation déterminante soient des entiers positifs et que les intégrales ne contiennent pas de logarithmes. Dans ce cas, le point ^ =: o ne sera pas un point critique pour les intégrales.
Ainsi l'équation
CIJC
t —. — h ( — m -h «1 ^ -h «2 ^" -+- • • • ) -^ =^ *^> où m est supposé entier et positif, a pour équation détermi-
nante
/• — m z=z o et son intégrale sera de la forme
152. Nous venons d'établir que, lorsque l'équation différentielle proposée a toutes ses intégrales régulières, on peut les obtenir par la méthode des coeifîcients indéterminés. S:îchant d'ailleurs que, lorsque t tourne autour de l'origine, r se reproduit multiplié par gs/ui g^ log^ se change en ]og^ -f- 2 7ri, on voit aisément, par la comparaison des développements obtenus, quelle est la substitution que cette rotation fait subir aux intégrales.
153. La question se présente moins simplement dans le cas général où l'équation différentielle admet des intégrales irrégulières, car on ne peut les obtenir par la méthode des coefficients indéterminés. On peut employer dans ce cas le procédé suivant :
Traçons trois cercles K, R', K" se croisant à l'origine
{/Ig- i) et d'un rayon assez petit pour ne contenir aucun des
autres points critiques. Soient a, a', a" les centres de ces
cercles.
Fi Cf. I.
Soit, d'autre part, X|, . . ., X„ un système de /? intégrales indépendantes. On peut supposer que chacune d'elles est définie par la valeur qu'elle prend, ainsi que ses n — i pre-
l88 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE H.
mières dérivées en un point L ^= b pris à volonté dans le cercle K.
Tant que t^ partant de cette valeur initiale, restera compris dans le cercle K, l'intégrale générale de l'équation sera de la forme c, .r, -f- . . . + c,; ^^ ; .r , , . » ,^ Xn étant des séries convergentes procédant suivant les puissances de t — <2 et c< , . . . , c,i des constantes. On aura donc, tant que t restera dans ce cercle,
En exprimant que le second membre de cette égalité et ses n — I premières dérivées prennent au point b les valeurs qui définissent X/, on aura un système d'équations linéaires qui détermineront les coefficients c.
Supposons que t sorte de ce cercle pour entrer dans le cercle suivant R'. Dans ce second cercle les intégrales sont développables suivant les puissances de ^ — a' et auront pour forme générale
y^, ...,y,i étant des séries, qu'il est aisé de calculer parla méthode des coefficients indéterminés. On aura donc, en particulier,
( 7 ) Xj = ^i/7i -h . . . + dni y a
et ce nouveau développement fera connaître la valeur de X; dans tout l'intérieur du cercle K', lorsque les coefficients d xi, . . . , d„i seront connus.
Pour les déterminer, il suffît de remarquer que, dans la partie commune aux deux cercles, les deux développements (6) et (7) étant valables à la fois, on aura
et par une série de dérivations successives
Cu^'l 4- . . . -f- C„fX',^ — du/i -f- . . 4- dni/ny )
En donnant à t une valeur particulière arbitrairement choisie dans cette région commune, on obtiendra un système d'équations linéaires qui donnera les coefficients d.
Si t passe du cercle K' dans le troisième cercle K'', X,, . . ., X,2 y seront donnés par de nouveaux développements
