CHAPITRE IJ

Tout est connu dans ces développements, sauf les fonctions monodromes Uq^ . . . , Uk- Mais, en chaque point de la région occupée par les cercles R, K', K", on connaît par les développements précédents la valeur numérique des intégrales X, , . . . , X„ et par suite celle des intégrales Y, , . . . , Y^. Les équations (8) permettent d'en déduire celle de Uq^ . . ., Uk- Le théorème de Laurent (t. II, n° 326) fournira dès lors les coefficients des séries, procédant suivant les puissances positives et négatives de t, qui représentent ces fonctions.

154. Des considérations analogues à celles qui viennent d'être exposées permettront d'intégrer par des séries toute équation linéaire qui n'a qu'un nombre limité de points critiques.

Soit, en effet, F = o une semblable équation. Il nous sera permis de supposer, pour plus de simplicité, que t = ce est un point ordinaire; car, s'il en était autrement, soient ^,, 1-2, ... les points critiques situés à distance finie; b un autre point quelconque ; posons

L'équation transformée en u admettra évidemment pour points critiques le point u = o, correspondant à ^ = co , et

les points Ui — r» ;^..= , ^ • • • correspondant a /,,

^2, . • . ; mais « = 00 , correspondant k t =:= b, sera un point ordinaire.

Cette hypothèse admise, traçons un cercle Kenveloppanl tous les points critiques ^,, ^2? • • -^ ^z» A l'extérieur de ce cercle l'intégrale générale aura la forme

(9) c,^, 4-...-hc,,^«

.r<, ,.., Xn él. nt des séries qui procèdent suivant les puissances de -•

Il est clair, d'autre part, qu'on pourra toujours recouvrir l'intérieur de K et les portions voisines de la région extérieure au moyen d'un nombre limité de cercles Ki,K2, . . -, dont chacun peut passer par un ou plusieurs points critiques, mais n'en contient aucun dans son intérieur, tout autre point situé sur K ou dans son intérieur étant au contraire intérieur à l'un au moins de ces cercles K,, Ko, ....

Soient K„i l'un quelconque de ces cercles, Œm son centre. Dans l'intérieur de ce cercle, l'intégrale générale aura la forme

(10) C/,ji .Z",,,} -r- . . . H- C;,{,j JT

inn

Xm\^ • • •' Xmn étant des séries procédant suivant les puissances de l — a,n.

Traçons maintenant une série de coupures L,, Lo? ••• allant de chacun des points critiques ^,, ^25 • • • jusqu'à l'infini. Tant que t ne traversera aucune de ces coupures, les intégrales de l'équation resteront monodromes. Soit X, , . . ., X;i un système quelconque d'intégrales indépendantes, Chacune d'elles sera définie en un point quelconque par l'un ou l'autre des développements (9) ou (10) parmi lesquels il y en a au moins un de convergent. Les coefficients c qui figurent dans ce développement pourront d'ailleurs se déterminer comme au n° 153. La valeur de ces intégrales sera donc connue en chaque point du plan coupé.

D'ailleurs, lorsque t tourne autour d'un des points critiques, ces intégrales subissent une substitution linéaire que nous savons déterminer. Supposons donc que t se rende de la valeur initiale ^0 à une valeur finale quelconque T. Pour obtenir la valeur finale des intégrales X|, . . ., X,;, il suffira de réduire le chemin parcouru par la variable à une série de lacets A^, . . . suivis d'un chemin A qui ne traverse plus les coupures. Lorsque t reviendra au point de départ ^o après

avoir décrit le lacet A, les intégrales auront sr'ji une substitution linéaire connue S; le lacet A' leur fera subir une seconde substitution S', etc. L'ensemble des lacets A, A', ... successivement décrits leur fera donc subir la substitulion résultante SS' . . . , de telle sorte que les intégrales auiont passé de leurs valeurs initiales X| , . . . , X,^ à des valeurs finales X'^ j • • • 5 XJ^ de la forme

Lorsque t décrira ensuite la ligne A, ces expressions varieront et prendront en T les valeurs suivantes

S,, . . ., S/j étant les valeurs finales de X,, . . ., X^, lesquelles sont données sous forme de séries, ainsi que nous l'avons vu. On peut donc déterminer a priori la valeur finale d'une intégrale quelconque lorsque la variable t décrit une ligne donnée, sans être obligé de calculer la série des valeurs successives par lesquelles elle passe, pour les points intermédiaires.

15o. La méthode précédente est susceptible de nombreuses modifications, si l'on admet, pour représenter les fonctions intégrales, d'autres développements que ceux qui sont fournis par la série de Tajlor. Supposons, par exemple, que, parmi les points critiques, il y en ait aux environs desquels les intégrales soient régulières. On pourra évidemment substituer à quelques-uns des cercles dont nous nous sommes servis des cercles décrits autour de ces points critiques (pourvu qu'ils ne contiennent dans leur intérieur aucun autre point critique); car on connaît un développement des intégrales dans ces cercles, et cela suffit.

On peut encore, dans beaucoup de cas, transformer l'équation difiérentielle par un changement de variable

t — o{u), d'où U:=^{t).

Soit a un point ordinaire de l'équation transformée : on

ÉQUATIONS LINÉAIRES. IqS

aura un développement de ses intégrales suivant les puissances de u — a, lequel sera convergent tant que le module de ;/ — a sera moindre qu'une constante donnée r. Les intégrales de l'équation primitive admettront un développement correspondant suivant les puissances de '^{t) — ?}>( a), valable dans toute la région du plan où

lequel développement pourra être utilisé au besoin.

156. Nous avons vu que, lorsque la variable t revient à sa valeur initiale Iq, après avoir décrit un contour fermé quelconque, les intégrales Xj, ..., X„ subissent une substitution linéaire. Considérons l'ensemble de ces substitutions S, S', ... correspondant aux divers contours fermés possibles K, K', Il est clair que, si S, S', ... sont deux de

ces substitutions, correspondant respectivement aux contours R, K', on obtiendra, en décrivant successivement ces deux contours, un nouveau contour fermé KK' auquel correspondra la substitution SS', résultante des deux premières. Cette dernière substitution fera donc elle-même partie de la suite S, S',

On dit qu'une suite de substitutions forme un groupe lorsqu'elle jouit de cette dernière propriété.

Nous appellerons groupe de Véquation différentielle

celui qui est formé par l'ensemble des substitutions S, S',

Toutes ces substitutions résultent évidemment de la com binaison successive des substitutions correspondantes aux lacets relatifs aux divers points critiques.

157. La notion de ce groupe est d'une grande importance dans toutes les questions qui se rattachent à l'étude des équations qui nous occupent. Nous allons, par exemple, montrer comment on peut reconnaître, à l'inspection du groupe de l'équation différentielle

J. — Cours, III.

dt- +/''1S^ +•■•-*-/'« ^=0.

si elle est réductible ou non, c'est-à-dire si elle admet ou non des solutions communes avec une autre équation

à coefficients uniformes, où m^n.

Formons les dérivées successives de G; il viendra

dG __d"^-^^x d"'x , d"'-'^œ

lu ~~ dt"'^^ ~^^^ 'dt^ "^^^ dt"'-^ -^- • -,

^ri - m Q ^ du j. ci" " ^ X

\W'-'^ ~~ 'dF '^^^'dîF^ "^•••'

dm ^ d'^ X

et, en tirant de ces équations les valeurs de -jjiri^ •'•> ^tt pour les substituer dans F, il viendra

^^■dF^^ -^^^-dF'^^ -h...-hA„G + G,, A, , . . . , A,,^ étant des fonctions uniformes de t, et G< une

dm — 107 dx

fonction linéaire de . „ , > • • • 5 -7- > ^, à coefficients unidt"^-^ dt

formes en /.

Les solutions communes à F = o, G ^ o sont évidemment les mêmes que les solutions communes à G = o, G< = o.

Donc, si G, est identiquement nul, l'équation F=o admettra toutes les intégrales de G, et son premier membre sera une fonction linéaire de G et de ses dérivées.

Si G, n'est pas identiquement nul, mais ne contient

aucune des dérivées de x, on n'aura G, = o qu'en posant

X z=. o. En dehors de cette solution évidente, les équations

F=: o, G = o n'auront aucune intégrale commune.

d^ x Enfin, si Gi = Bo -7-^ +. . . + By^^, Bq n'étant pas nul,

on pourra opérer sur les équations

^ = 0, i-Gi==o,

ÉQUATIONS LINÉAIRES. Io5

comme sur les équations primitives, et en déduire une nouvelle équation G2=o, à laquelle les solutions communes devront encore satisfaire.

En poursuivant cette série d'opérations, toutes semblables à celles du plus grand commun diviseur, on arrivera évidemment à ce résultat •

Si deux équations linéaires F = o, G = o, « coefficients uniformes, ont des intégrales communes, on pourra déterminer une équation de même espèce H = o, ayant pour intégrales ces solutions communes; et F, G seront des fonctions linéaires de H et de ses dérivées.

Donc, si l'équation F=o est réductible, il existera une équation d'ordre moindre, H =: o, dont elle admet toutes les intégrales.

158. Gela posé, soient Xi, ..., X„ un système quelconque d'intégrales indépendantes de F=o, Y^, ..., Y m un système d'intégrales indépendantes de H rzz: o. Les intégrales de cette dernière équation auront pour lorme générale

Cj I 1 -t- . . . -h C„il „i

et se permuteront les unes dans les autres lorsque t décrit un contour fermé quelconque. D'ailleurs Y|, ..., Y^, étant des intégrales de F=o, seront des fonctions linéaires de X, , . . . , jL,j.

Donc, si F=o est réductible, on pourra déterminer des fonctions linéaires Yj, . . ., Y m des intégrales X,, . . . , X;^, eu nombre «< n et telles que les fonctions du faisceau

CyYi-h.. .-hc,„Y„,

soient exclusivement permutées les unes dans les autres par toutes les substitutions du groupe de l'équation ¥=: o.

Nous exprimerons, pour abréger, cette propriété du groupe de l'équation en disant qu'il n'est psis primaire.

Réciproquement, si le groupe de l'équation F =:::= o n'est

pas primaire, l'équation sera réductible. En effet, les intégrales Y,, . . . , Yffi satisfont à l'équation d'ordre m

Yi .

dx dt

Y in * 1

dont les coefficients sont monodromes (après qu'on a divisé par le coefficient du premier terme). En effet, faisons décrire à t un contour fermé quelconque. Les fonctions Y,, . . ., Y m étant transformées en des fonctions linéaires de Y, , - . . , Y„,, les déterminants qui forment les coefficients de l'équation se reproduiront multipliés par le déterminant de la transformation. Leurs rapports reprendront donc la même valeur.

Pour reconnaître si l'équation F= o est irréductible, nous n'aurons donc qu'à chercher si son groupe F est primaire.

159. Soient S, S', ... les substitutions relatives aux divers points critiques, et dont la combinaison reproduit F. Si chacune d'elles multiplie toutes les intégrales par un même facteur constant, il est clair que toutes les substitutions de F jouiront de cette même propriété et que ce groupe ne sera pas primaire.

Supposons au contraire que, parmi les substitutions S, S', ..., il en existe au moins une S qui ne multiplie pas toutes les intégrales par un même facteur. Prenons à la place de X|, - . . , X/j un autre système d'intégrales indépendantes, choisi de manière à ramener S à la forme canonique. Supposons, pour fixer les idées, que l'équation caractéristique pour cette substitution ait deux racines <2, b\ qu'à la racine a correspondent quatre séries d'intégrales, dont trois contiennent k intégrales et la quatrième / intégrales, / étant <^A', et qu'à la racine b corresponde une seule série de

fu 72, ■'•,fk

Srz:

fi^fl^ -"^fk

U„ lli, ..., lli

Soit

ijl 4-^2/2 + ...-+

. , ay-k

', ay'k

' , Clfk

.., azi

., bui

ÉQUATIONS LINÉAIRES. IQ/

intégrales; la forme canonique de S sera la suivante i

«(7"i+7"2)' ^iy\

une intégrale quelconque. Effectuons sur cette expression les transformations S, S', Nous obtiendrons de nouvelles expressions de la forme

Di ji -h 0,72 M- ... 4- F/ «/,

oùD<, D2, ..., F/ sont des fonctions linéaires de dt^ d^, •..,//• Si parmi ces expressions il en est qui ne soient pas linéairement distinctes de celles qui les précèdent lorsque di, 0^2, . . .,// restent indéterminés, on pourra les supprimer et transformer de nouveau celles qui restent par les substitutions S, S', .... Parmi ces transformées on supprimera celles qui ne sont pas distinctes, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'une nouvelle transformation ne donne plus aucune expression distincte de celles obtenues précédemment. Cette suite d'opérations est nécessairement limitée, car toutes les fonctions obtenues sont linéaires par rapport aux produits en nombre limité qu'on peut former en multipliant les intégrales jk, ,725 • • • 5 lii par les arbitraires di, do-) . . . , //.

Soient Y<, Y2, ... les diverses fonctions ainsi obtenues. Il est clair que toute substitution de F transforme les unes dans les autres les fonctions

CiYi-hCaYs-i-...

du faisceau <ï> formé avec ces fonctions.