Cela posé, cherchons à déterminer les arbitraires d
dii • • -7 fil de telle sorte que dans chacune des fonctions Y,, Y2, ... les coefficients Di, D'^, D', des termes enj/<, Ïk") y\ disparaissent. Nous obtiendrons ainsi une série d'équations linéaires par rapport aux arbitraires (i, , <fo, -..^fi»
Supposons d'abord que ces équations soient compatibles. Assignons à <f < , d^-^ ,.., fi un système de valeurs qui satisfasse à ces équations.
Les fonctions Y,, Y^, ... ne dépendant plus que des variables ^'2, . . . , j'A, y.,, . . , y\., 7';, . . . , y;, ^, , - . . , w/ en nombre -< /i, celles de ces fonctions Y, , . . . , Y^ qui restent encore linéairement distinctes seront en nombre <^/2. D'ailleurs les fonctions suivantes Y,„,.,, . . . s'exprimant linéairement au moyen de celles-là, toutes les fonctions de O pourront se mettre sous la forme
Cj 1 1 H- . . . -h C„i 1 „ii
et, comme elles sont transformées les unes dans les autres par toutes les substitutions de F, ce groupe ne sera pas primaire.
161. Supposons, au contraire, que les équations soient incompatibles. Quelle que soit l'intégrale Y, qui a servi de point de départ, le faisceau <ï>, déduit de ses transformées, contiendra une intégrale
où l'un au moins des trois coefficients D,, D'^, D, n'est pas nul. Il contiendra sa transformée par la substitution S; cette transformée, que nous désignerons par SY, est de la forme
SY=Diâî(7iH-/2)H-...+ E,^(si + 52)-H-.- + Fi^(^'iH- W2)h-.-- Le faisceau <I> contiendra encore la fonction
Y'z= —l—{SY-bY),
OÙ les coefficients de j>',, y\, y] ont les mêmes valeurs que dans Y, mais où le coefficient de m, s'annule. 11 contiendra de même la fonction
où D,, D'^, D', ont encore conservé leurs valeurs primitives, mais où le terme en Wa disparaîtra.
Continuant ainsi, on voit que <ï> contiendra une fonction de la forme
z =^ Dj ji 4- d; j'i -h D';y; + o^ y. + . . . 4- s^ ::i + . . . h- c^c,,
d'où les II ont entièrement disparu.
Il contiendra encore la fonction
z'^ - sz-z=:D,/,4- d;j; ^-d;/; -h. . .-f-£,^2-i-- • .,
d'où y\i y\^ y\-, ^« ont disparu. Il contiendra de même la fonction
z'= ^sz'-z'=D,/3+ D;y3H- D';y; + . . .+ e,.-3+. . ..
Continuant ainsi, on voit que <I> contient la fonction
Donc, quelle que soit l'intégrale initiale ¥< , il existe dans le faisceau <E>, dérivé de ses transformées, une intégrale o de la forme plus simple
(11) ^^dyk-\-d'y',^-\- d"y\.
Prenons pour point de départ celte nouvelle intégrale et formons le faisceau <ï>' dérivé de ses transformées, lequel fait évidemment partie du faisceau ^.
Les fonctions qu'il contient seront de la forme
D,/, + D2/2 4- ... 4- d;/; -h ... -h F,- iii,
OÙ les coefficients D^, . . ., F,; sonl linéaires et homogènes en df d', d". D'ailleurs, de toute fonction de celte forme contenue dans ^' on déduira, comme on vient de le voir, une fonction correspondante
également contenue dans <!>'.
Formons successivement les diverses fonctions de cette dernière sorte qui sont contenues dans $', en supprimant à mesure qu'on les obtient toutes celles qui ne sont pas linéairement distinctes des précédentes, même lorsque d^ d'j d" restent indéterminés. Il restera un nombre limité de fonctions
?o--= dyr, -H d'y), + ^y;=cp,
D[x7/H-D'j,/^-l-D'f,yi.,
dont toutes les autres sont des combinaisons linéaires.
Soit Oa l'une quelconque de ces fonctions. Les coefficients Dec, i^a» E)a seront de la forme
Dc-.=
Di =
de telle sorte qu'on aura Ca désignant la substitution
fk '^"fk-^Ky'k-^K/fc
Les opérations o- satisfont à l'équation symbolique
(Ta ^p = Co cTo H- Cl ffi -}- . . . 4- Cjx <y(x,j
OÙ Co, . . . , Cp, sont des constantes.
En effet, puisque de l'existence de la fonction cp dans le faisceau $ on déduit l'existence dans ce même faisceau des transformées (To.'-^ et o-^cp, on déduira de l'existence de cette dernière fonction celle de la fonction o-aO-pcp. Cette fonction, ne dépendant d'ailleurs que des variables yh-, y'iii y'ki sera de la forme
162. Cela posé, considérons le groupe y dérivé des substitutions (Tq^ . . ., (Tu, entre les trois variables jka, y h-, y\' H est clair que le faisceau résultant de la combinaison des fonctions cp, cp,, . . . , cp[j, se confondra avec le faisceau déduit des transformées de cp par les diverses substitutions de y.
Le groupe y contenant moins de variables que le groupe F primitivement considéré, nous pouvons évidemment supposer que nous sachions reconnaître s'il est ou non primaire.
1° Si y n'est pas primaire, nous pouvons assigner aux coefficients d^ d\ d" de la fonction o un système de valeurs tel que le nombre des fonctions cp, cp,. . . ., cpjj qui restent encore distinctes dans cette hypothèse soit moindre que celui des variables j^/t, j-^, y^. Dans ce cas F ne sera pas primaire. En effet, supposons, par exemple, qu'il reste deux fonctions distinctes; soient
cp — dfk H- df,, 4- d"y\ = ce (//,,//„ y;), ^i^d.yh + d\y'i^-\- d[y\z=, cp,(jA-,7/c,7^)-
Considérons le faisceau <!>' dérivé des transformées de cp par les diverses substitutions de F. Soit
Di/i + d; y -h Ty\y\ + D272+ • • • + f.-^^-
une quelconque des fonctions qu'il contient. Nous avons vu que ce faisceau contenait Ja fonction
laquelle doit être une combinaison linéaire de cp et de o,. On
aura donc
i>i ji -^ d;/; 4- D'; y; = c ^ (ji , y\ , /i ) -+- ^i ?i (/i ' r'i » jI )'
c, c, étant des constantes.
Les intégrales jki, y\,y'\ ne figurant dans ^' que par les deux combinaisons 'f (j'd J^'pJKi) et '^^{y^^y^,y"^)) le nombre des fonctions linéairement distinctes dont <ï>' dépend sera moindre que 7î. Donc F n'est pas primaire.
2° Si le groupe y est primaire, de quelque manière qu'on choisisse d, d', d'\ la suite cp, cp,, . .., '^^ contiendra toujours trois fonctions distinctes, cp, cpi, cpa ; et chacune des intégrales jka, JK^^? j'a dont elles dépendent, y^ par exemple, pourra s'exprimer linéairement en fonction de cp, cp,, cpo. Elle appartiendra donc au faisceau ^'.
Formons maintenant les transformées successives de r^ par les diverses substitutions de F.
Cette intégrale étant entièrement déterminée, il n'y aura aucune difficulté à reconnaître combien le faisceau $'', dérivé de ses transformées, contient de fonctions distinctes; si ce nombre est inférieur à «, F ne sera pas primaire; dans le cas contraire il sera primaire.
Soient, en effet,
^Fr=C,Y,-4-...-|-6-„,Y,„
un faisceau quelconque d'intégrales que les substitutions de F transforment les unes dans les autres; Y, Fune de ces intégrales. Le faisceau ^F contiendra le faisceau <ï> déduit des transformées 'de Y, ; dans celui-ci existe une intégrale cp de la forme (ii), dont la combinaison avec ses transformées donne l'intégrale jka- Donc W contient cette intégrale et ses transformées, parmi lesquelles il y en a n linéairement distinctes.
163. Une seconde application de la notion du groupe nous sera fournie par la recherche des intégrales algébriques que peut offrir une équation linéaire.
Soit F = o une équation d'ordre /z, admettant des intégrales algébriques. Il est clair que, si t décrit un contour fermé quelconque, ces intégrales, restant toujours algébriques, se transformeront les unes dans les autres. Soient donc x^, . . . , x,n celles de ces intégrales qui sont linéairement distinctes; les intégrales algébriques cherchées auront pour forme générale
C\Xi-\- . . .-{- C„i X,ji
et seront les solutions d'une équation linéaire d'ordre m
dx ~dt
dt'"-
à coefficients uniformes, après division par le coefficient du
terme en — ^ Si donc F est une équation irréductible,
di^^
on aura m = n^ et les équations F = o, G --- o se confondront.
164. Étudions les équations, telles que G, à coefficients uniformes, et dont toutes les intégrales sont algébriques. Leurs coefficients, étant des fonctions algébriques et uniformes, seront des fonctions rationnelles.
D'ailleurs, aux environs de chaque point critique, les intégrales seront régulières. Considérons, en effet, un point
critique quelconque a. Une intégrale quelconque Xq sera
1^ développable suivant les puissances croissantes de (^ — a)^, p étant un entier convenable.
Soit
Xo= Cait — a)P-{- c^{t — a)^>-^ . .
ce développement. Groupons ensemble tous les termes dont
les exposants ne diffèrent que de nombres entiers; on pourra écrire
a^Q= [t — a)P Ua+ (t — a)P 11^-^- . . . ,
Ua, wp, • • • étant des séries qui procèdent suivant les puissances entières de t — a.
Si l'on fait décrire à t un lacet autour du point a une fois, deux fois, etc., on obtiendra de nouvelles intégrales
^2 = 02^ ( ^ — a ) P Wa -H e^P ( ^ — a )^ «p -4- . . . ,
en posant, pour abréger,
Résolvant ces équations par rapport à
on voit que ces quantités s'expriment linéairement en jCq, ^1, ... : ce sont donc des intégrales; d'ailleurs elles sont manifestement régulières.
On voit de même que les intégrales seront régulières pour
16o. Ce premier résultat nous donne déjà quelque lumière sur la forme des équations cherchées. En effet, d'après le n° 146, chacun des points critiques /<, ..., t^ devant être un pôle d'ordre k tout au plus pour le coeffi-
cient de ^^^^^. > l'équation aura nécessairement la forme d'^'x Ml d"'-'^x M2 d'^'-'^x M^„
T désignant le produit {t — ^, ) . . . (^ — ^p,) et M,, Mo, . .. étant des fonctions entières.
Tl reste encore à exprimer que les intégrales sont régulières aux environs de ^ = oo. A cet effet, posons
d'où
dt
du lu
on a
dx 'di d^x
2Î^ du
dt^ du
et généralement
dx du
(Px du-
iw
dx du
(-OM^^^^^XTT
dKx du''
Clk,k-\U
dt'^'
dii'-"'
ah h-\i a]{^h-2-) ' ' - étant des entiers, dont le j)remier est égal
à k{k — i); car on voit sans peine que cette formule, étant
d X supposée vraie pour -t-^j sera encore vraie pour la dérivée
suivante.
Substituant ces valeurs des dérivées dans l'équation proposée, et divisant par ( — 1)^11-^"-^ on aura l'équation transformée
du'
T lû
d"'-^x du""-^
Ml I
m-l,m-2 ij ^3
du"'-^
où il ne restera plus qu'à substituer t=^- dans T, M, , M Le point u =: o doit être un pôle d'ordre i , 2, ... au plus
fjl^m—ij, d'"'~^ X
pour les coefficients des dérivées j „ , , -, r? Il faut
et il suffît pour cela que -p,^? —■> ••• soient développables
suivant les puissances croissantes de u et commencent respectivement par des termes de degrés i, 2, .... Mais on a
On devra donc avoir
^^^- u^V--^ ' iC-^'-^ ' •
Donc, M,, ..., Myv, ... sont des polynômes entiers en i, de ]
degrés au plus égaux à [a — i , . . ., A-([i. — i), . . .. j
166. 11 est aisé d'établir que la somme des racines des équations déterminantes relatives aux points critiques ^i , . . . ,
/[x, 00 est égale a ( [a — i ) • ]
En effet, l'équation déterminante relative au point ti sera évidemment
et la somme de ses racines sera
D'autre part, l'équation déterminante relative au point \ t=z co sera i
et la somme de ses racines sera
m {m — I ) , jn{m — i )
La somme totale des racines de ces équations sera donc
m(m — i) Y^'^^') / .Tn{m — ^) (IX- I) ^ +^,2^___^(^a 0 __;
car on a, d'après une formule connue de la décomposition des fonctions rationnelles,
Y M^) ^ M,(0 Zt'(/^,) t-tt T(0~'
d'où, en multipliant par t et posant ^ =; oo,
167. Nous venons d'obtenir la forme générale des équations dont les intégrales sont partout régulières^ mais il s'en faut de beaucoup que toutes les équations de ce genre aient leurs intégrales algébriques. Pour qu'il en soit ainsi, un second caractère est nécessaire : il faut que le groupe de l'équation ne contienne qu'un nombre fini de substitutions.
En effet, chacune des substitutions du groupe est définie par le système des fonctions dans lesquelles elle transforme les intégrales indépendantes :r,, ..., Xm'i mais chacune de ces intégrales, étant algébrique, n'a qu'un nombre fini de transformées distinctes; le nombre des substitutions distinctes est donc fini.
Réciproquement, toute équation à intégrales régulières, dont le groupe ne contient qu'un nombre fini de substitutions, a toutes ses intégrales algébriques.
En effet, soient x^ une quelconque de ces intégrales^ ^21 • • • ses transformées par les substitutions du groupe. Toute fonction symétrique de ces transformées étant évi-
déminent uniforme, Xi sera racine de l'équation
dont les coefficients sont uniformes
Considérons d'ailleurs un point critique quelconque ?,. On aura aux environs de ce point un système d'intégrales distinctes dont les développements auront la forme
Uq, . . ., u/( étant monodromes aux environs de ^, .
Mais, pour qu'une expression de ce genre n'admette qu'un nombre limité de transformées distinctes lorsqu'on tourne autour de ^i, il faut évidemment : i" que les logarithmes dis-' paraissent, 2^ que r soit rationnel. On aura donc un système d'intégrales distinctes
où 7-4, To, . . . sont des fractions rationnelles.
Soit p le plus petit multiple de leurs dénominateurs. Les
intégrales ^,, ^27 ••• seront développables suivant les puis-
1^ sances entières et croissantes de {t — fj)^j ^^ ^^ ^^ ^^^^ ^^ même de ^i, X2, ... qui s'expriment linéairement en ^,, ^2, .... Le point ti sera donc un point critique algébrique pour chacune des intégrales ^,, Xo, ... et, par suite, pour les coefficients de l'équation (i3). Mais ces coefficients sont uniformes; donc t^ sera un pôle (ou un point ordinaire) pour chacun d'eux.
On verra de même que co est un pôle ou un point ordinaire pour ces coefficients.
Les coefficients de l'équation (i3) étant uniformes et n'ayant d'autres points critiques que des pôles, même à l'infini, seront des fractions rationnelles, et ^4, œ.2, • . . seront des fonctions algébriques.
Si donc on savait déterminer tous les groupes formés d'un nombre fini de substitutions entre m variables, on con-
naîtrait par là même les divers tjpes possibles d'équations linéaires d'ordre m à intégrales algébriques, et il suffirait, pour reconnaître si une équation donnée appartient à cette catégorie, de chercher à identifier son groupe avec l'un de ceux dont on aurait dressé le tableau.
Le problème arithmétique de la construction des groupes d'un nombre fini de substitutions, auquel la question se trouve ainsi ramenée, n'est résolu d'une manière complète que pour m = i ou 3. On a toutefois démontré que, pour une valeur quelconque de m, le nombre de ces groupes est limité, et l'on en a déduit ce théorème :
Si V équation G = o, d^ ordre m, a toutes ses intégrales algébriques, elle admettra un système d'intégrales distinctes Xi^ . . .^ Xmde la forme
; p étant un entier et Ui, Uo, . . • étant des fonctions ral tionnelles de t et d'une irrationnelle u définie par une
équation
dont le degré est limité en fonction de m.
Nous nous bornerons à énoncer ce résultat, dont la démonstration exigerait une exposition détaillée des principes de la théorie des substitutions.
168. Le cas où l'intégrale générale de l'équation G = o est non seulement algébrique, mais rationnelle, mérite une attention particulière. Il est aisé de le reconnaître.
En effet, les intégrales devant n'avoir d'autres points critiques que des pôles, l'équation déterminante relative à l'un quelconque des points critiques de G n'aura que des racines entières, et les développements des intégrales régulières ne contiendront point de logarithmes.
Pour que cette dernière condition soit remplie, il faudra I. — Cours, m. i&
tout d'abord qu'aucune des équations déterminantes n'ait de racines multiples (loi).
Supposons qu'il en soit ainsi; soit F(7') = o l'équation déterminante relative au point ^,, et soient a, a', a", . . . ses racines, rangées par ordre de grandeur croissante. L'intégrale générale aux environs du point t^ sera de la forme
il"---:
et, en substituant cette valeur dans l'équation différentielle, comme au n'' 1 i9, on obtiendra une série d'équations linéaires et homogènes qui détermineront par voie récurrente tous les coefficients c, c', c" , ... en fonction des m coefficients Ca, Ca', Ca.li, . . . qui restent arbitraires. On voit d'ailleurs sans difficulté que tous les coefficients c' , d\ . . . qui multiplient des termes logarithmiques s'expriment en fonction des m — I coefficients c'a'? c'y/i, . . . , et que ceux-ci ont des expressions de la forme
câ' = ACa, c'x'—^CoL-^B'c^', Ca' = GCa+G'Ca4-G"Ca',
Donc, pour que les logarithmes disparaissent, il faut et il
suilit qu on ait les — ^ équations de condition
169. Réciproquement, si l'ensemble des conditions qui précèdent est rempli, l'intégrale générale sera rntionnelle. En effet, elle n'a pour points singuliers à distance finie que des pôles. Elle est donc uniforme.
Formons d'ailleurs l'équation déterminante pour ^ = oo et groupons ses racines en classes en réunissant celles dont les différences mutuelles sont entières. Soient p, p', ... les plus petites racines de chaque classe; ;jl, [jl', ... le nombre des racines contenues dans leurs classes respectives. Pour des valeurs suffisamment grandes de tj on aura, pour Tinté-
grale générale, un développement de la l'orme
les expressions cp, cp<, . . . , cp', ... étant des séries procédant suivant les puissances entières et croissantes de -•
Mais, puisque cette expression est uniforme, les logarithmes disparaîtront nécessairement et les exposants p, p', ... seront entiers. L'*ntégrale générale aura donc un simple pôle à Fin-
fini; ce sera donc une fonction rationnelle^»
On pourra d'ailleurs la déterminer par des opérations purement algébriques. En effet, on connaît, par ce qui précède, la situation des pôles à distance finie et l'ordre de multiplicité de chacun d'eux. On pourra donc former le dénominateur Q. L'ordre de multiplicité du pôle t = œ étant également connu par le développement obtenu suivant les
puissances de -? le degré du numérateur P sera déterminé.
Pour déterminer ses coefficients, il suffira d'identifier le dé-
veloppement de -^r suivant les puissances de - à celui qu'a
fourni l'équation différentielle.
170. Considérons plus généralement, avec M. Halphen, les équations dont les intégrales sont partout régulières et sont monodromes dans toute région du plan qui ne contient pas le point ^< . Les autres points critiques ^o? - • - •> ^[x des coefficients de l'équation ne pouvant être que des pôles pour l'intégrale, les équations déterminantes qui leur correspondent n'auront que des racines entières, et les logarithmes disparaîtront des développements correspondants, ce qui
donnera ([i. — i) équations de condition, dont
l'existence sera à vérifier.
Lorsque l'ensemble des conditions précédentes est rempli, on peut trouver TintégraJe générale. En effet, d'après l'ana- Ivse du n*^ 145, on peut déterminer un système d'intégrales particulières formant une ou plusieurs séries, et telles qu'aux environs du point tt les intégrales j^o 7 • • • ? JK/f d'une même série soient de la forme
;/o^ • • -7 if/i étant des fonctions monodromes aux environs du point ^1 , r désignant une racine de l'équation caractéristique qui correspond à ce point et les Q étant définis par les relations
Les fonctions Uo, . . ., Uk, définies par les équations précédentes , seront des fractions rationnelles. En effet, les points 1-2^ • • -, ^a étant des points ordinaires pour les fonctions [t — ^1)"'' et log(^ — ^1 ), et de simples pôles pour )'o, • • • 5 J'Aî seront de simples pôles pour Uq^ ..., u^. Donc ces fonctions sont monodromes non seulement aux environs de ^1, mais dans tout le plan. D'autre part,
et
log(^-^,)=^-log^-l-lo5
so meu]
nt des expressions régulières pour t=^co\ il en est de e pour jKo, •••, Tk et, par suite, pour «/«» •••7 '^a- De ces deux propriétés réunies on déduit que Uq^ ..., u^ sont
dos fractions rationnelles de la forme -y? - - -, —•
On pourra d'ailleurs les déterminer par des opérations al-
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2î3
gébriqiies. En efifet,, connaissant les pôles 1-2, .. ., t^ des intégrales et leur ordre de multiplicité, on pourra former le dénominateur Q. Le développement de l'intégrale générale pour t ^^ 00 fera connaître Je degré des numérateurs Po, . . ., l\. Pour obtenir leurs coefficients, il ne restera plus qu'à substituer les expressions précédentes dans l'équation diilerentielle et à identifier le résultat à zéro.
