Considérons encore les équations de la forme

OÙ Po, . . -, P/7^ sont des polynômes dont le degré soit au plus égal à celui du premier d'entre eux, Pq.

Lorsque l'intégrale d'une équation de cette forme n'a pour points critiques à distance finie que des pôles, ce qu'on reconnaîtra aisément par les méthodes précédentes, on pourra obtenir l'intégrale générale par les considérations suivantes, également dues à M. Halphen.

Remarquons tout d'abord que la condition imposée aux degrés des polynômes P équivaut à dire que les développements de p^5 •••? -p^ suivant les puissances décroissantes

de t ne contiennent pas de puissances positives. Posons maintenant

R désignant une fraction rationnelle en t. La transformée

en y

cU'"-^

^'^^ du- ^ "^^'^^ ! dt'-^ ^ 2 ^'^

-\- PiR i -\- (m-i)PiR'

sera de la même forme que la primitive en x\ car son intégrale n'a que des singularités polaires, et ses coefficients sont rationnels et pourront être rendus entiers en chassant

2l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

le dénominateur commun. Enfin, si nous admettons que R, développé suivant les puissances décroissantes de t^ commence par un terme en tP^ ses dérivées R', R", . . . commenceront par des termes d'ordre moindre, en tP~^^ tP~'-^

On en déduit sans peine que les développements des coeflicients de l'équation (après division par PqR) ne contiendront pas de puissances positives de t.

172. Cela posé, on peut déterminer a priori les pôles /,, ^2, • • • de l'intégrale de l'équation (i4) et leurs ordres de multiplicité [JL(, [jlo, •• ••

Posons

La transformée enjK

~dP- "^ ^' dt"'-'

appartiendra au même type que la primitive; mais ses intégrales n'auront plus de pôles.

Posons

,Xt

La transformée en z (après suppression du facteur commun ) sera

dt

'^«l?ri+^'

dt'"-

Rm->

et appartiendra évidemment encore au même type. Mais on pourra disposer de l'indéterminée \^ de manière à annuler le coefficient du terme de degré le plus élevé dans R^, qui sera dès lors un polynôme de degré moindre que Rq.

173. Supposons ce résultat atteint, et cherchons à nous rendre compte de la forme des coefficients de l'équation en z.

Soient 9) , Oo) • • • les racines de l'équation Ro = o ; on aura par la décomposition en fractions simples , en remarquant que R/f est au plus du même degré que Ro,

Ro "^ ' Akiii-e^y-

les A, B étant des constantes. (En particulier Ajn sera nul.) D'ailleurs chacun des points 8/ étant un point ordinaire, aux environs duquel les intégrales sont régulières, l'indice / ne pourra prendre dans la sommation que les valeurs i, 2,..., /\. L'équation déterminante relative au point 9/ sera

r(/- — i). . .(r — m -Hi) 4- B/iir(/- — I). . .(r — m4- 2)

-h Bj22 /■(/■ — i). . .(r— /n 4- 3)H-. . , =r o.

La somme de ses racines est

D'ailleurs 8/ étant un point ordinaire pour les intégrales, ces racines seront nécessairement entières, non négatives et inégales. Leur somme est donc au moins égale à

donc B/H est un entier non positif. A fortiori la somme

étendue à tous les points critiques apparents, sera entière et pon positive.

174. Gela posé, admettons d'abord que R^^ ne soit pas nul et prenons pour variable auxiliaire la quantité z'= — *

2l6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lî

L'équation en z pourra s'écrire

DilTérentianî, il viendra

Éliminant z entre ces deux équations, on aura la transformée en z'

^'"-' r/T./ ^ xT. T. r./ .^^'

^o%n ~j^ 4- [(R'o + Ri)R.. - RoR

-i- [(r:.-i + R^) R.. - r..-ir;j ^'= o.

Cette équation est évidemment du même type cjue l'équarion en z ; et le rapport des deux premiers coefficients, qui

dans l'équation primitive était j-^ , sera devenu

Ro

(r; + Ri)r.„-RoR:. ^ Rt , Ro r;,

RoR.. Ro Ro R./

Or soient

Ro =Co {t-0^)^^{t~9,)^^...,

on

aura

Ro

et

de même

t — Ti

La somme S', analogue à S, formée pour l'équation en z\ sera donc

et sera > S, car Sa, degré de Ro, est supérieur à 2|3, degré de Rm.

La dérivée seconde z" satisfera de même à une équation du même type, mais où la somme S", analogue à S, sera > S'.

Si l'on pouvait poursuivre ainsi indéfiniment, on obtiendrait par là une suite illimitée de nombres entiers S, S', S'', ... non positifs et croissants, ce qui est absurde. Or on ne peut se trouver arrêté qu'en arrivant à une équation où le coefficient du dernier terme soit nul. Supposons que cette circonstance se présente pour l'équation en z^. Cette équation admettra comme intégrale particulière une constante ; et l'équation en z aura pour intégrale correspondante un polynôme n de degré n ; enfin l'équation en j^ admettra l'intégrale particulière e'^II.

Posons maintenant

La nouvelle variable y^ satisfait à une équation d'ordre m — 1 , et qui, d'après ce qui précède, appartiendra au même type que l'équation en jk. On pourra donc en déterminer une solution, de la forme e^i^Iîi, W^ désignant un polynôme.

Posant

=:e^i^n, j y^dt,

on continuera de même, jusqu'à ce que l'on arrive à une équation du premier ordre, dont l'intégrale sera

Cm désignant une constante arbitraire.

Les intégrations indiquées sont d'ailleurs de celles qu'on sait effectuer et fourniront un résultat de la forme

les W^ désignant des polynômes et les c^ des constantes arbitraires.

Divisant cette expression par le produit {t—t^yi (/ — t^y*. . . ,

OF THH

tTNIVERSI

ty)

2l8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

on aura l'intégrale générale de l'équation en ^, sous la forme

(i5) ^=^c,,.e^k'Mt),

\es //( étant des fonctions rationnelles.

175. Réciproquement, toute équation dififérentielle dont l'intégrale générale est de cette forme appartient au type que nous avons considéré.

En effet, éliminant les constantes C/f entre l'équation (i5) et ses dérivées et supprimant les facteurs communs exponentiels, on obtiendra une équation à coefficients rationnels, qu'on pourra rendre entiers en chassant les dénominateurs. Soit

cette équation. Son intégrale n'a, à distance finie, que des singularités polaires. Reste à prouver que les degrés de P,, . . ., Vjfi ne surpassent pas celui de Pq.

La chose est manifeste pour les équations du premier ordre; car de l'équation

on déduira, en prenant la dérivée logarithmique, l'équation dx

fit)

où le coefficient X H- ? développé suivant les puissances

décroissantes de t^ ne contient pas de puissances positives. Supposons d'ailleurs le théorème établi pour les équations d'ordre m — i . Il sera vrai pour l'équation

,-^ d"'-Ut ^

ÉQUATIONS LINÉAIRES. SIQ

cui admet pour intégrale générale

dt J^^t) dt J^{t)

car chaque terme de cette expression est le produit d'une exponentielle par une fraction rationnelle. Il sera encore vrai pour l'équation de degré m

^ d'^-u ^ du

dont l'intégrale générale est

et si nous posons

il sera encore vrai (171 et 172) pour la transformée en x. Or celle-ci a précisément pour intégrale générale 'Sc^e^/<^f/({t).

176. La méthode que nous avons indiquée plus haut pour intégrer par des séries les équations qui n'ont qu'un nombre fini de points critiques peut aisément s'étendre au cas où les coefhclents de l'équation, au lieu d'être uniformes en t, sont des (onctions uniformes de t et d'une irrationnelle u, racine d'une équation algébrique /(^, /^)=^o.

En effet, les points critiques de l'équation considérée sont de deux sortes : i" ceux aux environs desquels u reste monodrome; i"^ ceux autour desquels les diverses déterminations w,, ^2, ... de cette irrationnelle s'échangent les unes dans les autres.

A partir de chaque point critique de cette seconde sorte, traçons une coupure allant jusqu'à l'infini. Tant que t ne traversera pas ces coupures, u^, 112, •-. resteront monodromes. Substituant successivement ces diverses fonctions dans l'équation différentielle à la place de u, on obtiendra

une suite d'équations difFérentielles

Chacune d'elles admettra un système de n intégrales distinctes x^i^ ..., x,ii^ qu'on pourra exprimer par des séries dans la région considérée.

11 reste à voir quel changement subissent les intégrales lorsqu'on traverse les coupures. Or, si nous supposons qu'en traversant une d'elles ut se change en u^^ l'équation ¥i se changera en F/,. IjCS intégrales ^,/, ..., Xni se changeront donc en intégrales de cette dernière équation, soit en expressions de la forme

Pour déterminer les coefficients c, on n'aura qu'à égaler les valeurs numériques que prennent les intégrales ^,/? •••, Xni et leurs n — i premières dérivées en arrivant à la coupure aux valeurs que prennent c^^x^k-\- ■ - • -V- c^aXak^ ••• et leurs n — i premières dérivées de l'autre côté de la coupure.

177. Nous terminerons cette section en effectuant quelques applications particulières des principes généraux que nous avons exposés.

Proposons-nous d'étudier les équations linéaires du second ordre à trois points critiques t^^ t^, t^ et à intégrales régulières.

Soit F= o l'équation proposée. Changeons de variable indépendante en posant

mu -4- n

Soient 0, u deux valeurs correspondantes de t^ u. On voit sans peine qu'on aura, aux environs de ces valeurs, une relation de la forme

(formule où l'on devra remplacer t — 9 ou ;; — u par - ou si 8 ou u deviennent infinis).

Cette valeur de t — 9, étant substituée dans une fonction entière de t — 9, donnera une fonction entière de u — u. D'autre part, en la substituant dans une fonction régulière de ^ — 9, telle que

(^-6)'-[To-+-T.log(^-0)-}-... + TxlogM^-0)].

où To, T4, ..., Tx sont des fonctions entières de t — 0, on obtiendra évidemment un résultat de la forme

(«-u)'-[Uo-hU, log(^.-u)+...H-UxlogH«-u)],

Uo, .••, Ux étant des fonctions entières de u — 'J.

Donc l'équation transformée entre x et u admettra comme points critiques les trois points Wq? if^\i '^2 correspondant à ^0, t^, /^o î ses intégrales seront régulières aux environs de ces points, et les équations déterminantes relatives à ces points seront les mêmes qu'aux points correspondants de l'équation primitive.

Nous pouvons d'ailleurs disposer des rapports des coefficients 772, 11, ni! ^ n! de manière à donner à Uq, u^^ «o des valeurs arbitrairement choisies. Nous ferons en sorte que ces valeurs soient o, i, oc. Ce résultat pourra évidemment être obtenu de six manières distinctes, suivant qu'on posera «0= o, «, = I , «2= ^> oi-i ?'o= 1 1 '^1 = o? if-i = <^5 etc.

178. Soient respectivement )., X'; jjl, [jl' et v, v' les racines des équations déterminantes relatives aux points critiques o, I , GO. Si X — V, [Ji — |Ji', V — v' ne sont pas entiers, on aura pour les intégrales aux environs de chacun de ces trois points des développements de la forme

U, U' étant des fonctions entières de u] V, V des fonctions entières de u — i; W, W des fonctions entières de -• Posons maintenant

y étant une nouvelle variable. Nous aurons entre u et k une équation transformée H =: o, dont les intégrales seront données aux environs des points o, i, oo par les développements

Wi H- c' - — , w;

les quantités

Ui =:(l-«)-[^U, u; z=. {l — U)-V\]' ,

étant respectivement développables suivant les puissances

entières et positives de w, àe a — i et de - • ^ a

L'équation H = o a donc ses intégrales régulières, et ses équations déterminantes par rapport aux points o et i admettent une racine nulle, la seconde racine étant respectivement )/ — \ei Y-' — l^*

Il existe évidemment quatre manières d'arriver à ce résultat; car on peut prendre pour À une quelconque des deux racines de l'équation déterminante du point o, pour tji une quelconque des deux racines de l'équation déterminante du point I. Sur ces quatre manières, il y en aura une telle que les racines V — A et uJ — tji aient leur partie réelle positive (à moins que ces dilTérences ne soient purement imaginaires).

L'équation H z=z o doit être de la forme

cr-y M,(//) dy ^U{u)

du' ' u{u — I ) du a^ {u — i )'- '^ '

Ml, M2 étant des polynômes de degrés i et 2, et ses équations déterminantes par rapport aux points o et i seront

/•(/■ — i) — Mi(o)/- 4-M2(o)=:o, r{r-i) 4-Mi(i)/--hM2(i)=^o.

Comme elles ont une racine nulle, M2 devra admettre les racines o et i et sera divisible par ii(u — i). En effectuant la division et chassant les dénominateurs, l'équation prendra la forme

ou, en remplaçant A, B, C par trois nouvelles constantes a, |3, Y définies par les relations

179. Les équations déterminantes relatives aux trois points critiques o, i, go sont respectivement

,-(r — i) — (y — a — ,3 — i)r=zo, — r(/'-f-i) + (a + [3 +i)/- — ap — o,

et ont pour racines

o et 1 — Y? o et Y — ^ — P? a et p.

L'équation admet donc une intégrale développable aux environs du point o suivant les puissances entières et positives de u.

Soit

/i = Co 4- Cl « + . . . + Cjx f^!^ 4- . . .

cette intégrale. En la substituant dans l'équation et égalant à zéro les termes en u^-, il viendra

[ j^(;j. 1) (a + [3 -h i) [x - a3] Cf,