Soit par exemple u = • Pour w = o, i, oo, on

aura u ::= o, oo, i ^ l'équation entremet a aura donc ces trois

points critiques, et les racines des équations déterminantes correspondant à ces trois points seront comme précédemment

o et I — Y, o et Y — a — p, a et p.

On pourra donc prendre

X = o ou I — Y> (JL =: a ou p.

Prenons, par exemple,

X =3 I — Y) [JL =r a.

Les racines des équations déterminantes pour l'équation entre ^ et u seront

Pour o. . . — X irz: Y — I, I — y — X =i o,

Pour 00.. X-f-ji. — a-hi — Y> y — ^~? + ^ + ;^"-i— ?,

Pour I... a — [J-^o, p — ix. = '^ — oL.

Si nous posons

Y-i--=i —y'. P — a=rY'— a'- P',

d'où

a'=ra + i-Y. ?'=^^-?, y'=2-y,

cette équation admettra la solution

L'équation primitive admettra donc la solution

ou, en remplaçant u par sa valeur — — et a', p\ y' par leurs valeurs et supprimant le facteur constant ( — i)Y""'^~',

j — wi-ï(i~i^)Y-a-iF(aH-i — Y, I — p, 2 — Y

u J. — Cours, III.

182. On obtient par un procédé tout semblable les vingtquatre intégrales suivantes :

(17) (i,,)T-a-PF(Y a, Y-p, Y, «),

(18) (i-.O-^'Ffa, Y(3, Y,;^J,

(,9) (i-,,)-PF(p,y-a, y, ii-),

(20) «i-ïF(a — Y-hi, ? — T-hi, 2 — Y, m),

(21) ^^^-ï(i-«)T-^-PF(i-a, i-^, 2-Y, w),

(22) a''-r{i — u)y-''-^ PU — Y-f-i, I — p, 2 — Y, ^7^)'

(25) «'-TF(a — Y + i, ? — Y + i, a+p — Y4-F, I — «),

fi — 1

(28) (F-«)ï-«--PF(Y-a, Y-?, Y -«-? + !' i-«),

(29) (i— «)T-^-P;<'-TF(i — a, I— p, .^a— p-hT, i — m)

(30) (i-«)ï-«-P^^^-TF(^i^-a, Y-oc, Y-a-p+i, ^

(3i) (i-«)T-«-P?/i^-ïF(^[-p, Y-P, Y-«-?+i' '-^ ^ ' '

(32) «-^'FK a — Y + ^'^ — P + '' l;"

(35) «"''(1-^7)' ^ FU-Y-i-i, I-?,

(36) ^^-PFj'p, I3-T4-I, ?-a + i

(38) Ll-^ (89) f^-P

r-'Fi

183. Coupons le plan suivant la portion de l'axe des x qui s'étend de o à + oc. Dans le plan ainsi coupé^ chacun des développements précédents restera monodromc. Pour achever de les préciser, nous pouvons adopter pour arguments

de «, I ceux qui sont compris entre o et 27:, pour argument de I — a celui qui est compris entre — t: et +71. Les puissances de «, i 1 1 — u qui figurent dans les expressions (16) à (89) auront des valeurs entièrement déterminées. La région de convergence des développements ci-dessus sera : 1° pour ceux où la série hjpergéométrique a l'argument u ou. I — ^^, l'intérieur des cercles Gq, G< de rayon i décrits autour du point o ou du point i respectivement;

2° pour ceux d'arerument -5 5 l'extérieur de ces mêmes

cercles; 3" pour ceux d'argument '- — > la moitié du plan

située à gauche de la droite ^ =: - ; 4" pour ceux d'argument

, la moitié du plan à droite de cette lisrne.

Il restera à déterminer les relations linéaires qui lient entre eux ces divers développements dans leurs réglons de convergence commune.

Les différences des racines des équations déterminantes

relatives aux points o, i, co sont respectivement i — y, Y — a — p, j3 — a. Nous supposerons que parmi ces quantités, il en existe au moins une dont la partie réelle ne soit pas nulle. Les 24 transformations de l'équation de Gauss permettant : 1° de permuter entre eux d'une manière quelconque les points o, i, 00 sans changer les équations déterminantes ; 2° de changer à volonté les signes des différences des racines des équations déterminantes relatives aux points o et i , il nous sera permis d'admettre que y — a — ^ ait sa partie réelle positive. Dans ce cas les séries hjpergéométriques

Y-M,a-p-fi,^), F(^p,p-Y + .,p-a + i,l

seront encore convergentes sur la circonférence du cercle Cq et, en particulier, pour u = i elles prendront les valeurs suivantes (t. I, n"^ 379 et 382),

Celaposé, désignons par a^y^ , «< Jo les développements (16)

et (20), par b^z^^ b^z^ les développements (32) et (36); et

soit^uneintégralequelconque de l'équation de Gauss. On aura

dans l'intérieur de Cq

•^ = ^17,-1-02/2 et à l'extérieur de Cq

œ zzz di Zi -+- d-yZ-i.

Pour trouver la liaison entre les constantes c< , Co, <^,, c/2, nous remarquerons que sur la circonférence elle-même, où les développements restent tous deux convergents, on aura

Cl y 1 + ^2 72 = ^1 -1 + ^2 -2.

En particulier^, au point m = i, on aura sur le bord supérieur l de la coupure

et, sur le bord inférieur,

d'où les deux relations cherchées

Tirant de ces équations les valeurs de d^^ d2 pour les substituer dans l'expression x ^=^ d^ z^ -\- (^2^2?

(g-2TC/.3 g-27rzY>)^^(^g-27lfa g-27r/Y>)-^

Cette expression, convergente en dehors du cercle Cq, représentera dans cette région la même intégrale qui, dans l'intérieur de Co, était égale à c< jr< 4- C2j^2-

184. Il ne reste plus qu'à voir comment les constantes c,, C2 se modifient à la traversée des coupures qui joignent les points critiques o et [ , i et 00.

Si l'on traverse la droite 01 (en montant), j^< ne change pas, JK2 est multiplié par e^^u/y • g^ ^ __ ^^y^ | ^^y^ g^j. changé en c^y^ -+- C2e~2^'ïjK2- Ainsi Ci ne change pas, et C2 est multiplié par e~-^'ï.

Si l'on traverse la coupure loc (en montant), d^^ d2 seront changés en

etc<, Cocn deux nouvelles constantes c\^ c'o liées kd\ ,<i'„ parles relations

C'i + e 27r/Yç.^ g- 27i/a ^'^ ^ ^-27r/p ^/'^^

En résolvant les équations linéaires (4o), (4i), (42), on éliminera les auxiliaires d^, d^^ d\, d\ et l'on obtiendra l'expression de c'^, c.^ en fonction linéaire de c< , Co.

Si l'on traversait les coupures en descendant, les coeffi-

23o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

cients c<, C2 subiraient évidemment la transformation inverse de celle qui vient d'être déterminée.

Les coefficients des formules de transformation ne renferment, comme on le voit, que des exponentielles.