L'équation (43) „(,.__ „)g+[.,(^+p^.,)„]f|,p^^o

étant dlfierentiée, donnera

+ [.^+,(cc+p+3)«]g-(a + ,)(?+.)^=0

dy ,

ou, en posant -.— ^^ y ,

+ Lt + I - (^ + P + 3)«] ^ - (a -f- I) (P H- i)7' = o.

Cette équation ne diffère de la précédente que par le remplacement de a, j3, Y par a + i, p + i,y + i.

La dérivée —, — -. = >""' satisfera donc à l'équation

'' ^ ' ~ " ^ ^^17^ 4- [ Y + /i - I - ( a 4- ? + 2 Al - 1 ) « ] i^-^

Cette équation, multipliée par ia^'^~^{\ — uY+^-^+'^-^ ^ pourra s'écrire

— (a -h /i — i) (^ + /i — \)a"-^ (i — /0'^-'Mj«-S on [)osant, pour abréger,

ÉQUATIONS LINÉAIRES. 23l

En la différentiant n — i fois, il viendra

— (a+ /i — i) (p -4- /; — i) ^-^ u^-~^ (i — i/,)«-iM7«-^

L'application répétée de cette formule de réduction donnera, pour toute valeur de ii entière et positive,

A) ) dIfJ'

( =,a(a-f-i)...(a-f-/i-i)p(^-hi)...(?-+-/i-i)i\Ij.

Cette formule est particulièrement intéressante lorsque (3 est un entier négatif — n. L'équation (43) admettra dans ce cas comme solution l'expression

j— F(a, —n, Y, it),

laquelle est un polynôme de degré /i, dont la dérivée n^^""^ se réduit à la constante

La formule (44) donnera donc dans ce cas particulier

F(a, —n, Y, «)= iTT-T ^ ; r -7— w"(i — «)"M

'' ' My(y -Hi). . .(Y+'i — i) <^"

ou, en remplaçant M par sa valeur et changeant a en a + ii,

ii^-y {i — u)y-^ d"" «ï+«-' (i — «)a+«-Y

~ ï(T + 0- • •(T-+- /^ — I) diF'

Le polynôme

F (a 4- n, — n, y, w) ir:: Z^

est donc un produit de puissances par une dérivée /i»^™«.

186. Les quantités y et a + i — v étant supposées positives, les intégrales définies

seront finies et déterminées; elles auront d'ailleurs les valeurs suivantes :

(45) J„,,n — o, si m>n,

(46) j„„^-L,L(iL±-)r'(T)r(o. + »-T + 0.

En effet, Z/^ satisfait à l'équation

qui peut s'écrire

— lûii — uY^'-nJ,^ = — /i {n 4- a) MÏ-i (i -^ uy-^Z,,. Multiplions par Z,„ et intégrons de o à i ; il viendra

ou, en intégrant par parties et remarquant que le terme tout intégré s'annule aux deux limites,

n{n-ha)J,n,n— //T(i— ;/)^+<-TZ;/Z;,,^« = 772(m + a)J,„^„;

car le second membre ne change pas si l'on y permute m et n.

On aura donc, si m^n,

J /Il . n O .

Si m = n., on remarquera que Z^ satisfait à une équation de même forme que Z„, sauf le changement de a, n, y en

a -t- 2, n — I, Y + i; on aura donc, par un procédé tout semblable,

(/i - 1) (/^ -f- oc -h i) r ^^^(1 — w)='+i-TZ;,z; du

=: f uy^'{i - uY^'-^r^ z; du.

Continuant ainsi, on aura finalement

X f u^^^-' {i—u)''^"-'iZlZldu.

D'ailleurs

et

wT+«-i(i— uY^^'-^du

r ( a 4- 2 AZ + I

Substituant ces valeurs et remplaçant les factorielles par des quotients de fonctions F, on trouvera la formule (46)-

Soit maintenant/(w) une fonction quelconque, que nous nous proposons de développer en une série de la forme

/(«)=AoZo-i-AiZi -+-... + A„Z„ -h....

Un semblable développement étant supposé possible (<), on en déterminera aisément les coefficients. Multiplions en effet les deux membres par ?^T~*(i — u)^~VLa et intégrons de o à i^ il viendra

Ç f{u)ul-\i-uY-^Z,du^kJ,,,

(') Sur cette possibilité, voir le Mémoire de M. Darboux Sur les fonctions de grands nombres {Journal de Liouville, 3« série, t. IV, p. 5 et 377).

ce qui donnera le coefficient A,, exprimé par une intégrale définie.

187. Les résultats que nous venons de trouver renferment comme cas particuliers ceux qui ont été obtenus précédemment pour les fonctions X,^ de Legendre. Posons en eflet a = Y = I ; nous aurons

Zn^¥{n-^i, -n, I, u) = y-^- l—u"{i-ii)^,

et, en posant ii = — ; — ? nous obtiendrons le nouveau polj' nome

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