Considérons comme dernière application l'équation

de Bessel

dp- y I dy f n dx- X dx \ x^

Substituons pour j>^ la série

Il viendra, en égalant à zéro le terme en x^"^-"^^

(/•4-2[X-+- 2) (/•-+- 2 [X + l)Cj;.+ ,

-h (rH- 2(j.-+-2)Cjx+i4-C[x— /i^Cjj.+i = o; d'où

^ -ZL^

En posant jjl = — i, on aura l'équation déterminante

Prenons d'abord /• = /i, il viendra

'J^-^*--4(/i-M--f-i)(tx-hi)'

et, par suite.

y =z Cci X

( i)!J-ji;«-H2!A

Le terme général de la série entre parenthèses peut s'écrire

ainsi

r(/i-+- îj.-f-i)r(;x-hi)

Si donc nous prenons pour plus de simplicité la constante Co égale à -, il viendra comme première so-

lution la série

2jr(/n- [x-hi)r([x-f-i

que nous désignerons par J^j.

En posant /• == — /z, on trouvera un résultat tout semblable, sauf le changement de signe de n.

Les deux intégrales J,,, J^ seront évidemment indépendantes si n n'est pas un entier réel; l'intégrale générale sera

donc

cJ,,-4-c'J„.

Si n est entier, on peut évidemment le supposer positif, car il ne figure que par son carré dans l'équation dilTérentielle. Dans ce cas les n premiers termes de J„ s'annulent, car ils contiennent en dénominateur des fonctions F d'argument entier négatif, lesquelles sont infinies. On aura donc

OU, en posant ^ = n -\- |j.',

Les deux intégrales Jn et J„ ne seront donc pas indépendantes et ne suffiront pas pour former l'intégrale générale.

189. Pour obtenir dans ce cas une nouvelle intégrale, nous supposerons que l'argument, au lieu d'être tout d'abord égal à /i, soit égal k n — s, s étant infiniment petit. Nous pourrons prendre pour intégrales indépendantes, au lieu de

Jn-e et J«+£, J«£ et — -^ ^— =• La limite de cetle

dernière quantité pour £ = o nous donnera l'intégrale cherchée, que nous représenterons par Y,i.

Séparons les n premiers termes du développement de J//+£ et changeons dans les autres l'indice de sommation jjl en /« -f- a; il viendra

Y„r=: lim

limj

/^y^-^2îxy'(3)

en posant, pour abréger,

r(/i — £H-[j.4-i)r([ji.-M) \2 Or, en appliquant la formule connue

smy>

ÉQUATIONS LINÉAIUES. 287

on aura

I . . sia(/^ — £— |x)7T

expression dont la limite pour e .-= o est

— r(/i — ijl) cos(/i — (JL)7r = (— 1)^-1^^^ r{n — |jl). D'autre part,

lim ^—^ — /'(O) =: 2lOff - -; r ;

r(Ai + [x + i)r2(!i.4-i) r({x + i)r^(/i4-îj. + i) Substituant ces valeurs, il vient

^r(/i+fx + i)r([x-i-i) L ^2 r(iJ. + i) r(/i-f-|x4-i) J