Les fonctions J„ sont liées par la formule récurrente
(4?) — J/i — J/i-i-4- Jrt+i-
En effet, substituant pour les fonctions J leurs développements en série et comparant le coefficient du terme en j^ni-2u.-i dans les deux membres, on aura à vérifier l'égalité
2«i+2[xr({jL4-i)r(Ai4- (j.) 2«+2H.-ir(u.)r(/i-i- (x-f-i;
Or on a
Substituant ces valeurs et supprimant les facteurs communs, l'égalité à vérifier se réduira à
(J.(Ai + (J.) [J. /i -i- [X
ce qui est évident.
On vérifiera de même cette autre formule
dont la combinaison avec la précédente donnera
Nous signalerons enfin les deux formules
(50) ■f^yh„{^x)=-{x'"'^i„,,{sl^),
/ '1 'Isz}
qu'il est également aisé de vérifier.
191. On peut rattacher à l'équation de Bessel plusieurs équations qui se rencontrent fréquemment dans les applications.
Transformons en effet cette équation en posant
^ et V désignant de nouvelles variables ; on aura
dx = ^^(t'^-^lt,
dx ~ Py '^i '
D'autre part,
dt^
de
dt
Substituant les valeurs précédentes àey et de ses dérivées dans l'équation de Bessel, on aura l'équation transformée
(52) ^^^ -|(2a + l)^"^^ +(a2 pVi2+p2YU-P)Vrr.O.
L'équation en^ ayant pour intégrale générale
y — c^a{oc)-\-c'S,i{œ), la transformée aura, pour intégrale générale
(J,i devant toutefois être remplacé par Y„ si n est entier).
On pourra donc intégrer par les transcendantes J toute équation de la forme
/72 V dV
dt- dt
car on peut disposer des quatre constantes a, p, y, n de manière à identifier l'équation (53) avec (52).
On remarquera toutefois que, fi et y ne pouvant être nuls, la transformation serait en défaut si c ou X étaient nuls. Mais alors l'équation (53) se ramène à une équation à coefficients constants (139).
Les cas particuliers les plus intéressants sont les suivants :
24o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
correspondant àa = ±^, ^ = -y = i , et
correspondant à a — -, ^ — |, y = M enfin l'équation de Riccati
correspondant àar^ — |, [^^= — ,y=2/i y/c, n ^=
