IV. — Intégration par des intégrales définies
192. L'équation de Gauss est un cas particulier de la suivante
où ? est une constante, et Q(^^), R(-2^) deux polynômes, tels que l'un des polynômes Q(^), ^R(^) soit de degré n, et l'autre de degré ^Ji.
Nous essayerons de satisfaire à cetle équation en posant
1— fv{u — œ)^-'du,
U étant une fonction de u qui reste à déterminer ainsi que la ligne L d'intégration.
Substituant dans l'équation la valeur précédente et supprimant le facteur commun ( — i)" (ç — 0* • .-(^ — /i + i), il
viendra
/ ^(u-xf^-n ÏR(x)-^K{x){u~x)-^n"{x)^-^^^^^^^-^...\\
= f {{l — ri){ii — x)l-n-i q(^u)-^{u~ x)l-^ R(a)] U du.
Déterminons U par la condition
R(«)U = ^UQ(«),
d'où
et enfin
TT — p'^ U(«)
l'équation précédente deviendra
o ^ fd.UQiu) {u — œ)^-^'-^ fdV,
en posant, pour abréger,
(2) V=UQ(w)(w — .^)^-«— e-' ti(") "(i^^)^-'ï.
L'intégrale de dY sera nulle et l'équation sera satisfaite : i"^ Si L est un contour fermé tel que V reprenne sa valeur initiale lorsqu'on revient au point de départ;
2" Si L est une ligne telle que V s'annule à ses deux extrémités.
193. Nous allons voir, en discutant ces diverses lignes d'intégration, qu'on peut obtenir en général n intégrales particulières distinctes, dont la combinaison donnera f intégrale générale de l'équation proposée.
J. — Cours, III. i6
La fraction -r- — -, décomposée en fractions simples, donnera un résultat de la forme
ou
{il — a)^ a — a
